[数学]第六章66直接证明与间接证明.ppt

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1、§6.6直接证明与间接证明教材回扣夯实双基基础梳理1.综合法(1)定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的___________,最后推导出所要证明的结论__________,这种证明方法叫综合法.推理证明成立2.分析法(1)定义:从________________出发,逐步寻求使它成立的___________,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫作分析法.要证明的结论充分条件思考探究综合法与分析法各有何特点？提示:分析法的特点是:从

2、“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是寻求它的充分条件;综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件.分析法与综合法各有其特点,有些具体的待证命题,用分析法或综合法均能证明出来,往往选择较简单的一种.平时我们常用分析法探索解题思路,然后用综合法书写步骤.3.反证法假设原命题__________,经过正确的推理,最后得出________,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫反证法.不成立矛盾课前热身3.(原创题)等差数列{an}中,a1＞

3、0,且a3＋a125＝0,则使an＜0的最小自然数n为________.解析:∵{an}为等差数列,∴a3＋a125＝2a64＝0,即a64＝0.又∵a1＞0,∴d＜0.∴a65＜0.答案:65答案:a≥0,b≥0且a≠b考点1综合法考点探究讲练互动考点突破例1【规律小结】综合法是数学证明中常用的一种方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证结论的真实性例备选例题(教师用书独具)【证明】∵a、b、c>0,∴a2＋b2≥2

4、ab,∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b),∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2∴a3＋b3≥a2b＋ab2.变式训练1.(2011·高考四川卷)已知{an}是以a为首项,q为公比的等比数列,Sn为它的前n项和.(1)当S1,S3,S4成等差数列时,求q的值;(2)当Sm,Sn,Sl成等差数列时,求证:对任意自然数k,am＋k,an＋k,al＋k也成等差数列.例2考点2分析法【名师点评】分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推

5、理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件.在利用分析法证明问题时应注意分析法的书写格式.例备选例题(教师用书独具)变式训练例3考点3反证法g(x0)【名师点评】反证法体现了正难则反的思维方法,用反证法证明问题的一般步骤是:(1)分清问题的条件和结论;(2)假定所要证的结论不成立,而设结论的反面成立(否定结论);(3)从假设和条件出发,经过正确的推理,导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾).例备选例题(教师用书独具)变式训练3.设直线l1:y

6、＝k1x＋1,l2:y＝k2x－1,其中实数k1,k2满足k1k2＋2＝0,求证l1与l2相交.方法感悟方法技巧1.分析法的特点是:从未知看需知,逐步靠拢已知.2.综合法的特点是:从已知看可知,逐步推出未知.3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法从条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考.实际证题时常常两法兼用,先用分析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来.4.应用反证法证明数学命题,一般分下面几个步骤:第一步:分清命题“p→q”的条件和结论

7、;第二步:作出与命题结论q相矛盾的假定非q;第三步:由p和非q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果;第四步:断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定非q不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题p→q为真.第三步所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.失误防范1.利用反证法证明数学问题时,首先假设结论错误,并用假设命题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的.2.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式

8、的规范性,常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P,再说明所要证明的数学问题成立.命题预测数学证明是每年必考的知识点之一,考查重点是利用综合法、反证法证明问题,题型大多为解答题,难度为中、高档.主要是在知识交汇点处命题,如数列、立体几何的平行、垂直、不等式、解析几何等