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《2013版高中全程复习方略配套课件：3.6简单的三角恒等变换(人教a版·数学理)浙江专用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六节简单的三角恒等变换三年3考高考指数:★★能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.1．利用公式变换,进行三角函数式的化简是高考考查的热点.2.常与实际应用问题、函数等结合命题.3.高考主要以解答题的形式进行考查.1.半角公式【即时应用】（1）思考：你能用sinα、cosα表示吗？提示：(2)判断下列公式及其变形是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）①()②()③()【解析】①根据公式可知根号下分子上应该是“+”，故错;②等号右边分子上应该是“-”，故错；③等号右边分子上应该是“-”，可以化简验证，故
2、错.答案：①×②×③×（3）填空：①cos215°-sin215°=______.②2sin215°-1=______.【解析】①cos215°-sin215°=cos30°=②2sin215°-1=-cos30°=-答案：①②-2.形如asinx+bcosx的式子的化简(其中)(1)把下列三角函数式化成sin(x+φ)的形式.①sinα+cosα=______;②sinα+cosα=______;③5sinα+12cosα=______.(2)计算：=______.【即时应用】【解析】(1)①②③(其中).（2）原式答案：（1）(其中)(2)三角函数式的
3、求值【方法点睛】三角函数式求值的类型和思路(1)三角函数式求值的类型三角函数式求值分为直接求值和条件求值,①直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值.②条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围.（2）条件求值的一般思路①先化简所求式子或所给条件;②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);③将已知条件代入所求式子,化简求值.【例1】(1)求值：=______.(2)若则tanαtanβ=______.(3)已知则=______.【解题指南】（1）把切函数换成弦
4、函数再用公式化简求值，重在公式的逆用；（2）利用两角和、差的余弦公式展开求cosαcosβ,sinαsinβ，相除得结果；（3）根据已知条件求出tanα，把所给的三角函数式变形，代入tanα即可.【规范解答】（1）原式(2)由①②解得则(3)由得于是答案：(1)1(2)(3)【互动探究】把本例（2）中的“cos(α+β)=,cos(α-β)=”改为“sin(α+β)=,sin(α-β)=”,如何求？【解析】因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=,两式相加得sinαcosβ=①两式相
5、减得cosαsinβ=-②=-2.【反思·感悟】三角函数式求值问题的注意点（1）三角函数式求值时一定要准确地应用公式和选择恰当的思路，否则会使求值过程繁琐.（2）条件求值要求准确利用所给的条件，在此可能涉及到式子的变形和角的变换，同时要注意所给角的范围.【变式备选】已知求的值.【解析】又故可知从而三角函数式的化简【方法点睛】三角函数式化简的原则、要求及方法(1)三角函数式的化简原则:一是统一角，二是统一函数名.能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.(2)(3)三角函数式化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角.【提醒】同角三角函数关系式和诱导
6、公式在化简中经常应用，特别是“1”的代换经常用到.三角函数式化简的要求①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.【例2】化简【解题指南】利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式，但要注意α的范围.【规范解答】∴原式∵α∈(π,2π),∴∈(),∴cos<0,当即时，∴原式当即时，∴原式(其中tanφ=2),∴原式=(其中tanφ=2)，【反思·感悟】本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为是欲擒故纵原则.一般地有【变式训练】化简【解析】原式【变式备选】化简：【解
7、析】方法一:原式方法二：原式三角恒等式的证明【方法点睛】三角恒等式证明的方法及切入点(1)证明恒等式的方法：①从左到右；②从右到左；③从两边化到同一式子.原则上是化繁为简，必要时也可用分析法.(2)三角恒等式证明的切入点：①看角：分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化;②看函数:统一函数,向结果中的函数转化.【例3】证明：（1）(2)【解题指南】（1）从等号的左边开始证明先变成相同的角，再利用公式推导；（2）从等号的左边证明，主要是利用同角三角函数关系式，注意“1”的代换.【规范解答】（1）左边==右边，原题得证.（2）左边=右边，原题得证.【互动探究】
8、把本例（2）中等号左边改为“-tan2α”,右边不变，试证明.【证
