培优专题3非负数的性质及应用(含解答)-.doc

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1、培优专题3非负数的性质及应用一个实数的绝对值、偶次方，一个非负数的偶次算术根（这里主要指算术平方根）都是非负数．非负数有一个重要性质：若几个非负数的和等于零，则只有在每个非负数均为零时，等式成立，这个性质应用特别广泛，它不但可以启迪我们的思维，还可以让我们感觉到数学变形的美妙．例1实数a、b、c在数轴上对应的点如图3-1所示，化简a+│a+b│--│b-c│．分析此题化简的关键是我们想办法根据a、b、c在数轴上的位置，确定各自的性质，去掉绝对值符号和根号．3-1解：∵a+b<0，c>0，b-c<0，∴原式=a-（a+b）-│c│+（b-c）．=a-

2、a-b-c+b-c=2c．练习11．若a<0，且x≤，那么化简│x+1│-│x-2│=________．A．1B．-1C．3D．-32．已知a<0，ab<0，化简=________．3．已知abc≠0，试求++的值．-7-例2设实数x、y、z满足x+y+z=4（++）则x=_____，y=_______，z=_______．分析利用折项或添项配方的办法将条件转化为几个非负数之和为零的形式，即a+│b│+=0，再由几个非负数之和为零则每个非负数必须为零来解决．解：由原方程，得x+y+z=4+4+4x-4+y-4+z-4=0．[（）2-4+4]+[（）

3、2-4+4]+[（）2-4+4]=0，（-2）2+（-2）2+（-2）2=0即-2=0，-2=0，-2=0．解得：x=9，y=9，z=7．练习21．实数x、y、z满足x+y+z+8=2+4+6，则x+y+z=________．A．6B．12C．14D．202．已知=2，ab++4=0（a≥b，c≥0），那么a+b的值是_________．A．-2B．0C．2D．43．已知a、b、c、x、y、z是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by+cz，求的值．-7-例3化简．分析要解决没有明确条件限制的有关字母化简问题，要充分挖掘题目中的隐

4、含条件：≠0，-a3≥0．解：∵-a3≥0，∴a≤0．∵≠0，∴a≠0．∴a<0．∴原式===+1．练习31．若有意义，则=_________．2．已知-│a│=1，那么代数式+│a│的值为________．3．计算-++的值．-7-例4若a、b满足3+5│b│=7，则S=2-3│b│的取值范围是_____．分析将条件和结论的两个等式看作关于，│b│的方程组，利用其有界性求出S的范围．解：3+5=7，①2-3│b│=S．②①×3+②×5得19=21+5S．①×2-②×3得19│b│=14-3S．由得：故-≤S≤．练习41．已知a、b、x、y满足y+

5、│-│=1-a2，│x-3│=y-1-b2，则2x+y+3a+b的值为_______．2．如果│x+2│+x-2=0，则x的取值范围是_________．3．求使为自然数的整数a的值．-7-例5已知a

6、、│x-b│、│x-c│之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使X到A、B、C三点的距离之和最小，如图3-2．显然，当X点与B点重合时，（∵B点在A、C点之间），该距离和y最小．3-2这时，y=│x-a│+│x-b│+│x-c│=│x-a│+│x-c│=x-a+c-x=-a+c．所以，y的最小值等于c-a．练习51．若x为有理数，求│x+│+│x-│的最小值．2．已知│x-1│+│x-5│=4，求x的取值范围．3．若x为有理数，求│x-1│+│x-2│+…+│x-1999│的最小值．-7-答案:练习11．D2．3．∵abc≠0，∴a≠0，b≠0，c

7、≠0．（1）若a、b、c都为正数时，原式=3；（2）若a、b、c中有两个正数时，原式=1；（3）若a、b、c都有一个正数时，原式=-1；（4）若a、b、c都为负数时，原式=-3．练习21．D2．B3．∵a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by+cz，∴a2+b2+c2+x2+y2+z2=2ax+2by+2cz．∴a2-2ax+x2+b2-2by+y2+c2-2cz+z2=0．∴（a-x）2+（b-y）2+（c-z）2=0．∴a-x=0，b-y=0，c-z=0．∴x=a，y=b，z=c．∴=．练习31．12．3．∵-a2≥0，∴a2≤0．∴a=

8、0．∴原式==0．练习41．172．x≤23．设9-4a=m2（m为整数），-7-于是，4a+m2=9．∵4a为偶数，9为