饮料喝出数学乐趣.doc

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1、饮料喝出数学乐趣一次偶然机会，我和几个同学喝饮料，店老板为了促销，实行三个空瓶换一瓶饮料。喝完后，我想三个空瓶能换一瓶饮料，那么我买10瓶饮料共可喝多少瓶呢？大家你一句我一句，争得不亦乐乎。关键词：饮料甁数空瓶兑换一、问题的发现一次偶然机会，我和几个同学喝饮料，买了三瓶，店老板说：“三个空瓶换一瓶饮料”。喝完后，我想三个空瓶能换一瓶饮料，那么我买五瓶饮料共可喝多少瓶呢？10瓶呢？我曾经问过不少人这道题，他们给的结果通常都是14瓶（先喝10瓶，用9空瓶换来3整瓶，喝3瓶，还有3+1=4个空瓶。然后用3个空瓶再换一整瓶，喝掉。最后剩下2个空瓶。共10+3+1=

2、14瓶）。当我提示他们剩下的两个空瓶仍然能够利用的时候，有人就给出了正确答案：借来一个装满饮料瓶，喝完后，连同那剩下的两个空瓶一起还给人家。所以共喝了15瓶。这就是这道题的正确答案。最近我突然想到了这个问题，它能不能被深入地推广一下呢？于是我就开始了对这个题目思考与分析。.二、建立数学模型我列出了原有饮料瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据：原有饮料瓶数X实地能喝到饮料瓶数1123344657697108129131015观察分析归纳如下：原有饮料瓶数实地能喝到饮料瓶数2346698121015113457710913根据不完全归纳可得:当原有饮料瓶数为偶数时

3、，实际能喝原瓶数的1.5倍当原有饮料瓶数为奇数时，实际能喝原瓶数的1.5倍取整瓶这个结果是否正确呢？三、数学模型的分析与问题的解决又经过我细致的观察，发现：只要是每有两个空瓶，都可以运用开头那种“借瓶子”的方法再喝一瓶饮料。这个发现太重要了。我可以这样处理那些剩余的空瓶：分为两个两个一组，每一组等于一瓶“没有空瓶”的汽水（只可以喝，但不能得到空瓶）。这样就可以正面对待这个问题了。当原有瓶数X为偶数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为2个组，每组0.5X个正好分完。每组又是一瓶。共喝掉X+0.5X=1.5X瓶。当原有瓶数X为奇数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为2个组

4、，每组0.5（X－1）个，还剩一个空瓶，浪费掉。共喝X+0.5（X—1）=1.5X-0.5瓶。其实取整之后结果是和上述整理过的表格一一对应的。这正验证了上文中不完全归纳得出的结论。通过这种思想，我们能不能进一步再推广呢？如果是4个、5个或更多空瓶换一瓶饮料，又会怎么样呢？四.数学模型的进一步推广现有X瓶饮料，Y个空瓶可以换一瓶新的汽水。问总共能喝到多少瓶汽水呢？由上文的推导过程来看，如果是Y个空瓶可以换一瓶饮料，那么每拥有（Y—1）个空瓶，就可以用借瓶子法得到一瓶饮料。所以当喝完X瓶饮料得到X个空瓶之后，又能喝到[X/（Y—1）]瓶饮料。总共就是[X+X/

5、（Y—1）]瓶饮料(若除不尽时则向下取整数)。整理该式子，就得到了最后的结论：可以喝到[XY/（Y—1）]瓶饮料(若除不尽则向下取整数)。五、论文总结有X瓶饮料，每Y个空瓶可以换一瓶新的饮料。问总共能喝到多少瓶饮料呢？答：总共可以喝到[XY/（Y—1）]瓶饮料(若除不尽则向下取整数)这种题目的类型不止用于换饮料当中。啤酒、酱油、醋生活中的这类问题也并不少见。而细致地进行处理，周密地进行思考，就可以从容地应对那些看似复杂的问题。这个问题的探讨与解决，对于我们在日常生活中如何处理使开支与效益达到最优化具有一定的指导意义。