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《圆中常见的“两解”问题失误剖.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、圆中常见的两解问题失误剖析圆中有两解的问题较多，如弦所对的圆周角就有两个，这两个圆周角互补.由于圆的对称性，圆中的两条平行弦与圆心也有两种位置关系等，解答这些问题时稍有不慎，就会造成下列失误.1.忽视对点与圆的位置关系的分类例1若点P到⊙O的最长距离为10㎝，最短距离为2㎝，则⊙O的半径为____㎝.错解:填6.剖析:错解只考虑了点在圆内的情况，却忽视了点在圆外的情况.PBAOOPBA图2图1正解:(1)若点P在⊙O内如图1，过点P作直径AB,则PA=10㎝,PB=2㎝.∴AB=PA＋PB=12㎝.∴⊙O的半径为6㎝.(2)若点P在⊙O外如图2，连接OP交⊙O于B,延长
2、PO交⊙O于A.则PA=10㎝,PB=2㎝.∴AB=PA－PB=8㎝.∴⊙O的半径为4㎝.所以填6㎝或4㎝.2.忘记两圆半径的大小关系造成失误例2已知⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径为5㎝，若两圆的圆心距为2㎝，则⊙O2的半径为____㎝.错解:填3.剖析:两圆内切，圆心距等于两圆半径之差.因为本题两圆半径大小关系不明确，所以圆心距等于两圆半径之差的绝对值.正解:设⊙O2的半径为㎝,则∣－5∣=2.∴－5=±2.∴=3或=7.或分类讨论：(1)若＞5，则－5=2.∴=7.(2)若＜5，则5－=2.∴=3.所以填3或7.3.因两圆相切的关系不具体导致漏解例3若⊙O1与⊙O
3、2相切，⊙O1的半径为5㎝，⊙O2的半径为8㎝，则两圆的圆心距为____㎝.错解:填13.剖析:两圆相切，分内切、外切两种.正解:(1)当两圆内切时，圆心距为两圆半径之差，即3㎝.(2)当两圆外切时，圆心距为两圆半径之和，即13㎝.∴填3㎝或13㎝.4.忽视对弦(不是直径)所对的弧的分类例4已知,AB是⊙O中一条非直径的弦，∠AOB=80°，点C是⊙O上一点(不与A、B重合)，则圆周角∠ACB的度数为____.错解:填40°.图3C′OCBA剖析:很明显，弦AB所对的弧一条是优弧，另一条是劣弧.因此，它所对的圆周角有两解，其和为180°.正解:如图3,若点C在优弧上,则
4、∠ACB=∠AOB=40°.若点C′在劣弧上,则∠AC′B=180°－∠ACB=140°.所以填40°或140°.5.忽视对平行弦与圆心的位置的讨论例5已知⊙O的半径为13㎝,弦AB∥CD，AB=24㎝，CD=10㎝，则弦AB与CD的距离是().A.7㎝B.17㎝C.12㎝D.7㎝或17㎝错解:选A或选B.图5图4FFEEOODDCCBABA剖析:由于平行弦与圆心的位置关系有两种：(1)两条弦在圆心同侧,(2)两条弦在圆心异侧.所以要分类讨论.正解：过O作EF⊥CD于E,交AB于F,连接OA、OC,则CE=CD=5㎝,AF=AB=12㎝.在Rt△COE中,OE==12㎝
5、.同理OF=5㎝.(1)当弦AB，CD在圆心O同侧时，如图4，则EF=OE－OF=7㎝.(2)当弦AB，CD在圆心O异侧时，如图5，则EF=OE＋OF=17㎝.所以选D.6.忘记对圆周角与圆心的位置的分类例6已知⊙O的半径为2，若弦AB与AC的长分别为、，则∠BAC的度数为____.错解:填75°.剖析:圆周角与圆心有三种位置关系，应分类讨论.本题不存在圆心在圆周角一边上的情况，错解只考虑了圆心在圆周角内部的情况，却忽略了圆心在圆周角外部的情况.正解:(1)当圆心O在∠BAC内部时，如图6，作直径AD，连接BD、CD.，则∠ACD=∠ABD=90°.在Rt△ABD中，A
6、D=4，AB=.由勾股定理得BD==2，∴BD=AD.∴∠BAD=30°.在Rt△ACD中，AD=4，AC=.由勾股定理得CD=.∴AC=CD.∴∠CAD=45°.∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=75°.C图7图6DDOOCBBAA(2)当圆心O在∠BAC外部时，如图7，作直径AD，连接BD、CD，则∠ACD=∠ABD=90°。由(1)可知∠BAC=∠CAD－∠BAD=15°.所以填15°或75°.7.忽略对两圆圆心与公共弦的位置的讨论例7⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，它们的半径O1A=15,O2A=13,公共弦AB=24,则圆心距O1O2=____.错解：填14.剖
7、析：两圆相交，习惯上画成两圆圆心在公共弦两侧的情形，错解受到思维定势的影响，忽略了两圆圆心也可能在公共弦同侧的情况.图9图8O2O2O1O1CCBBAA正解：设连心线O1O2(或其延长线)交AB于C，则O1O2垂直平分AB，AC=AB=12.在Rt△AO1C中，由勾股定理得O1C==9；在Rt△AO2C中，由勾股定理得O2C==5.(1)当圆心O1、O2在公共弦AB两侧时，如图8，则O1O2=O1C+O2C=14.(2)当圆心O1、O2在公共弦AB同侧时,如图9，则O1O2=O1C－O2C=4.所以填4或14.
