泰勒级数在求n阶导中的作用

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1、第12卷第4期唐山高等专科学校学报Vol.12No.4199年12月Jo帅alofTangshanPolyteC俪cColegeL犯C.1999泰勒级数在求导中的作用张炜(唐山高等专科学校,河北唐山肠3以洲〕x。设函数f(x)在的某邻域上能展开为泰勒级数刀:)二,(二。)十(二一二。)+(二一二。)2+⋯丫叫粤业(:一二。)·+⋯粤几;罕‘二,‘:,。.,x一x。”ax。n其中()的系数里就含有f(x)在点处的阶导数值实际上这个公式是联系微分学和级数理论的一个重要结论.在许多情况下,我们很少用此公式来计算泰勒级数的系数.根据

2、高等数学中任何公式都可从两个方向加以利用的转化原则,无论用什么方法把f(x)展开为幂级数,在收敛区间上都是f(x)的泰勒级数.很显然,如果能够将一个函数用其它方法展开,”,x。x。n一x。为f(x)在处的泰勒级数函数f(x)在处的阶导数就可以从(x)的系数中算出.”’x。二ann即厂()!下面通过几个例子来讨论一下利用泰勒级数求函数的高阶导数问题.例l求f(二)二aretg:在点:二0处的儿阶导数厂”,(0).,二xx解首先将f(x)aretg展开成一个关于的幂级数’arctg二=万d:口{0产1十石-,,,=1一:,十:‘

3、+(一1)一:,m十⋯(m=ol23⋯)气十I一tg!2·‘4一:6·⋯仁卜+(一l,nrZm+二二所以一一丁;)〕dtd‘Zd!·!4d!Jf‘!’n2刀‘卜(一ltd乙+丁;{;{;+)””‘十一2‘护一3一护3(l)吮,,,+m=Ol23⋯Zm+’n一二(一l)(Zm)!(当n二Zm+l为奇数时),(。)例从解而2{n0(当为偶数时)x=sinZx,”’(.设f()求厂o)二sxx的先将f(x)分展开成为幂级数sx二l一eosZx一l一linZeosZx二2,:1夕到,一一收稿日期ro128唐山高等专科学校学报第12卷

4、一,一+十+·“=”‘〕杏李一(一l)冬票宾一乙‘军乙!军斗卫、石JIL/二n‘,一‘,工一峥月.2、“一l2尤一lX一!一’“+’()+=++(z)n乙⋯〕一(Z)!,ZIJ一1一”‘+‘,了乙艺(l)xZ(Zm)一们二亡.‘e”,十。一)l一l)l,2卜l了‘、,:二Zm”(‘当为偶数时)’(o)所以厂n0当为奇数时),,”通:)过以上两个例子可以发现只要写出函数f()的泰勒展开式求得厂(0)就变得十分.:还有一个更令我们感兴趣的问题”’(;简单了能否用类似的方法来计算厂)’!xx一ex,n’(;。”’(二.例3设f()

5、一求厂)和厂)x一x。解需要把f(x)展开为的幂级数·x一少二e与e与二x一xo之x_:,x二Q()茎e“l+一t一1!2!一x1l一11一x。+x一xo一()xol+X一XOXO,工一XO、,zX一xo、飞X一XO飞+气-一斯x0’一)一又)+,’J义0—XO—天O把上面所得的两个幂级数相乘得;+x{一了一户x0e,:x一二。“一全()}n二1·.,!十-!’‘一卜n一‘1卜,。:二(‘土2!土)2+二一创乙曰其中与与十+一与X0六尤0工0办XO’,一·’‘··一l“。。一1+一所以、‘一,=·,-);一()()⋯(人)厂

6、(土x0k艺击艺曰了于一+kl瓮k二0几:0=。用x替换x。,就可以得到f(x)兰的阶导数r‘一·.一l‘。二⋯(人七业’‘x=()(j()(了丫几一))x了+-卜k.,“4设f(x)二一/(ax+占)求厂’(x)例,x+:解如果f(,)能展开为人的幂级数则必定有十,:,:x、)二,(二)z‘/n!f(艺厂n二0,‘,:,’:,:、+,‘=a人j戈)(二)二n!a因此j()丫台.’xax+llb/()介了f(二+j‘)一ux+h)+乙一ax+占+ah一x+al+f(x)ah(!一了、ahaX+口:第3期张炜泰勒级数在求导中的

7、作用将上式展开为h的幂级数·,‘了‘矛乙·,·=二一la二f(x+h)=f(x)咐可赤石五〕f()艺()[f()〕、’‘,‘‘,+汀‘一a:’、了.、l)〔f()],乙二一’‘na’‘ax+一’‘一’’(l)!(b)所以厂(责任编校赵鹤鸣)TheAetionofTaylorSeriesinDerivationZhangWeis田1ecege,Tangshan(x刃,na(TanghPolytehniCofl肠3Chi),,(上接第4页)本空间有些问题就可免去繁杂的排列组合计算而十分简便地得到结果;甚至有些看似在古典概型下无法

8、求解的题目也可迎刃而解.可见,在古典概型下,注重样本空间的选取是很有用途的.参考文献..:,11复旦大学编概率论(第一册)北京人民教育出版社979.2王:,梓冲概率论基拙及其应用北京科学出版社1976(责任编校赵鹤鸣)TheChoieeofSan1PleSPaceintheClassieP