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1、高考大题专项练5 高考中的解析几何 高考大题专项练第10页 1.已知椭圆C:x2+2y2=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解:直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.当x0=t时,y0=-t22,代入椭圆C的方程,得t=±2,故直线AB的方程为x=±2,圆心O到直线AB的
2、距离d=2,此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=y0-2x0-t(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=
3、2x0-ty0
4、(y0-2)2+(x0-t)2.又x02+2y02=4,t=-2y0x0,故d=2x0+2y02x0x02+y02+4y02x02+4=4+x02x0x04+8x02+162x02=2.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.〚导学号92950949〛2.(2015沈阳一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=
5、1(a>b>0),其中e=12,焦距为2,过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在AM之间.又点A,B的中点横坐标为47,且AM=λMB.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求实数λ的值.解:(1)由条件可知,c=1,a=2,故b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程是x24+y23=1.(2)由AM=λMB,可知A,B,M三点共线,设点A(x1,y1),点B(x2,y2).若直线AB⊥x轴,则x1=x2=4,不合题意.当AB所在直线l的斜率k存在时,设直线l的方程为y=k(x-4).由y=k(x-4),x
6、24+y23=1,消去y,得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.①由①的判别式Δ=322k4-4(4k2+3)·(64k2-12)=144(1-4k2)>0,解得k2<14.又x1+x2=32k24k2+3,x1x2=64k2-124k2+3,由x1+x22=16k23+4k2=47,可得k2=18,即有k=24.将k2=18代入方程①,得7x2-8x-8=0,则x1=4-627,x2=4+627.又因为AM=(4-x1,-y1),MB=(x2-4,y2),AM=λMB,所以λ=4-x1x2-4
7、,所以λ=-9-427.〚导学号92950950〛3.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足
8、MA+MB
9、=OM·(OA+OB)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-210、MA+MB
11、=OM·(OA+O
12、B)+2,∴4x2+4(1-y)2=2y+2,∴x2=4y.∴曲线C的方程为x2=4y.(2)设Qx0,x024,则S△QAB=21-x024,∵y=x24,∴y'=12x,∴kl=12x0,∴切线l的方程为y-x024=12x0(x-x0)与y轴交点T0,-x024,
13、PT
14、=1-x024.直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,由y=-x-1,y=12x0x-x024,得xD=x0-22,由y=x-1,y=12x0x-x024,得xE=x0+22,∴S△PDE=12
15、xD-xE
16、·
17、PT
18、
19、=1-x024,∴△QAB与△PDE的面积之比为2.〚导学号92950951〛4.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M0,15,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.解:(1)由已知可得,点P满足
20、PB
21、+
22、PC
23、=
24、AC
25、=25>2=
26、BC
27、,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=25,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为
28、x25+y24=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为:y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2,联立方程组y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有Δ=80(4+20t2-t4)>0,x1+x2=20t34+20t2,x1x2=5t4-204+20t2.而
29、PQ
30、=1+4t2
31、x1-x2
32、=1+4t280(4+20
