齐次Poisson过程中到达时刻的分布.pdf

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1、第44卷第3期数学的实践与认识Vo1．44，NO．32014年2月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYFeb．．2014齐次Poisson过程中到达时刻的分布邵吉光，王军(北京交通大学理学院，北京100044)摘要：利用多项分布、区间分解等方法研究了齐次Poisson过程中粒子到达时刻的分布规律，对许多定理进行研究和推广，得到了更为一般的结果．关键词：Poisson过程；顺序统计量；多项分布；达到时刻1引言与准备齐次Poisson过程是一类重要的平稳过程，也是建立平稳独立增量过程理论框架的

2、基础之一[1]_其中的粒子来到时间间隔序列{，n0)和粒子的到达时刻序列{，n1)的诸多分布规律构成了Poisson过程理论的重要组成部分．本文运用多项分布等方法导出了一系列到达时刻的概率密度函数．为方便起见，先给出基本的概念和引理．定义1若计数过程{，t0)满足：(1)No=0；(2)过程有独立增量性；(3)P(，t=佗)=e—(一，则称{，t0}是强度为A的齐次Poisson过程【2]_定义2随机向量：(∈1，，⋯，)的概率密度函数觯～一)=。=。基其中，△，蚪△F是专的分布函数F的礼阶差分[a-4]，=(1

3、，2，⋯，)，△=(Ax1，△z2，⋯，Ax)，0=(0，0，⋯，0)．定义3推广的佗重Bernoulli试验：n次重复独立的试验中，每次试验可能有若干个结果，把每次试验的可能结果记为1，A2，⋯，，而P(As)=Pj，J=1，2，⋯，r，且P1+P2十⋯+P=1．称这类试验为推广的Bernoulli试验I引．引理1记为Poisson过程{，t0)第n一1与n个粒子到达的时间间隔，则有{x，礼0)i．i⋯d均服从eXp(入)【6j．引理2设{，t0)为齐次Poisson过程，则有[0]P(=f：佗)=(；)(1一

4、；)，0

5、∈(2)=后2，一’，∈(r)=)pp。⋯p，kj0，∑kj=凡引理4设随机变量∈1，2，⋯，独立同(0，t]上均匀分布，则其顺序统计量((1)，∈(2)，⋯，∈())的联合概率密度函数为[]．厂(tl，t2，⋯，tn)=，0

6、s=(As1，As2，⋯，△s)，把时间区间(0，t]分割成：(0，81一Asz】u(81一A81，81]u(81，82一As2]u⋯u(8一As，s]u(s，t]=I1u／2U⋯u只要Asj，J=1，2，⋯，n充分小，则上述区间不相交．由引理2知道，在不考虑次序情况下，已经到达的n个粒子中的任何一个，其到达时刻皆服从(0，t]上的均匀分布，且与其他到达时刻独立．记“Aj=到达时刻落入区间，7”，则P(Aj)=，J=1，2，⋯，n．每讨论一个到达时刻，相当于做一次推广的Bernoulli试验，共进行了几次试验．由

7、引理3得P(8一As

8、xp()，与有条件时的分布完全不同．定理2．2(SkIN~=佗)一fsIM(sIn)=面等(1一)一，0