圆锥曲线最值问题及练习.doc

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1、圆锥曲线最值问题及练习中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，最值问题有两个特点：①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积，解二元二次方程组，基本不等式等）②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。1、回到定义例1、已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；（2）求

2、PA

3、+

4、PB

5、的最小值和最大值。略解：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准

6、线于点Q，则由椭圆的第二定义，∴.问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则

7、PA

8、=2a-

9、PC

10、∴

11、PA

12、+

13、PB

14、=2a-

15、PC

16、+

17、PB

18、=10+(

19、PB

20、-

21、PC

22、)根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-

23、BC

24、≤

25、PB

26、-

27、PC

28、≤

29、BC

30、.当P到P"位置时，

31、PB

32、-

33、PC

34、=

35、BC

36、，

37、PA

38、+

39、PB

40、有最大值，最大值为10+

41、BC

42、=；当P

43、到P"位置时，

44、PB

45、-

46、PC

47、=-

48、BC

49、，

50、PA

51、+

52、PB

53、有最小值，最小值为10-

54、BC

55、=。回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。2、利用闭区间上二次函数最值的求法例2、在抛物线上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。解：设抛物线上的点，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离5当时，，故所求点为。例3、已知一曲线，（１）设点A的坐标为，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离

56、PA

57、；

58、（２）设点A的坐标为（a,0）a∈R，求曲线上点到点A距离最小值d，并写出d=f（a）的函数表达式。解：（1）设M（x,y）是曲线上任意一点，则∵x≥0∴　所求P点的坐标是（0，0），相应的距离是（2）设M（x,y）是曲线上任意一点，同理有　　　　综上所述，有3、运用函数的性质例4、在△ABC中，，，的对边分别为a,b,c，且c=10,，P为△ABC内切圆上动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和最大值与最小值。解：由∵　　∴　　∴△ABC为Rt△由C=10，且知　a=6b=8设△ABC内切圆半径为r，如图建立直角坐标系，则Rt△

59、ABC的内切圆M的方程为：设圆M上动点P（x,y）()，则P点到顶点A，B，C的距离的平方和为：　5　　＝88-4x∵点P在内切圆M上，，于是　例5、直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线L过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求L在y轴上的截距b的取值范围。略解：设A（x1,y1），B（x2,y2），M（x0,y0），将y=kx+1代入x2-y2=1得（1-k2)x2-2kx-2=0,由题意，△>0且x1+x2<0,x1x2>0,解之得,且M,又由P（-2，0），M，Q（0，b）共线，得，即下面可利用

60、函数f(k)=-2k2+k+2在上是减函数，可得。例6、已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。略解：设P（2cosθ,sinθ），(0<θ<л/2),点P到直线AB：x+2y=2的距离∴所求面积的最大值为4、判别式法例7、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。解：设点Ａ、Ｂ的坐标分别为，，那么，①由题意，得②，又AB的中点M（x,y）到y轴的距离为③，将①③代入②整理得④，∵　为实数，5故　△＝又∵　

61、x>0得⑤，当时，△＝０　由④解得⑥，，可得⑦，由⑥，⑦可得，，由①即得相应的，。故AB的中点M距y轴最短距离为，且相应的中点坐标为或。法二：　　　∴　∴　∵　　①　②由①－②２得　③①＋③得　④④代入①得　　当且仅当　　　　时等式成立。∴　　　　说明：此法即为下面的基本不等式法。5、利用基本不等式例8、已知椭圆，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点。求：（1）

62、PF1

63、

64、PF2

65、的最大值；（2）

66、PF1

67、2+

68、PF2

69、2的最小值。略解：设

70、PF1

71、=m,

72、PF2

73、=n,则m+n=2a=4，

74、PF1

75、

76、PF2

77、=mn≤=4.

78、PF

79、1

80、2+

81、PF2

82、2=(

83、PF1

84、+

85、PF2

86、)2-2

87、PF1

88、

89、PF2

90、≥42-2×4=8参考练习：51、过椭圆E：（a>b>0）上的动点P向圆O：x2+y2=b2引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于