用无网格法分析带压电层的裂纹板的振动特性

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1、振动与冲击第29卷第9期JOURNALOFVIBRATIONANDSH0CK用无网格法分析带压电层的裂纹板的振动特性王砚，王忠民(西安理工大学理学院，西安710054)摘要：将无网格伽辽金法(EFGM)应用于求解含压电层裂纹板的横向自由振动问题。建立了系统的能量泛函，根据弹性动力学推广的Hamilton原理和引入无量纲量，推导了含压电层的裂纹矩形薄板的变分式；建立了无网格伽辽金法离散的控制方程。通过数值计算，得出薄板的无量纲固有频率随裂纹和压电片几何参数的变化曲线，分析裂纹的参数和数量对矩形薄板的横向振动特性的影响。关键词：无网格法；推广的Hamilton原理；压电层；

2、裂纹；横向振动中图分类号：0343文献标识码：A压电材料由于其响应迅速、大频宽、高精度以及成本低等优点而被作为传感器和作动器，它在精确定位、振动和噪声主动控制以及健康监测系统中得到广泛的应用。由于压电材料的存在，对于整体结构力学分析的控制方程变得更为复杂，国内外学者对压电层合结构已在数值方法和实验方面做了大量的分析研究-3j。Batra等基于线弹性理论研究了上下表面粘Fig．1Thecrackedrectangularplatewithpiezoelectricsheet贴压电层的简支矩形板的振动特性。Benjeddou等第1个压电布片区12，Yp<-y<-yp。f2，

3、f=考虑一阶剪切变形理论求解了简支压电自适应板的自1，2，3，⋯，r，压电片的厚度h压电片的密度P弹性由振动的解析解。Huang等研究了四边简支带压模量Ep，泊松比第i个裂纹：跏越，Y捌电层的层合板在热／机／电共同作用下线性和非线性自s，i=1，2，3，⋯，s，裂纹的深度h薄板横向振由振动和动力响应问题。在复杂的工作环境下压电层动的挠度函数为W(，Y，，t)。合结构中存在裂纹总是避免不了的，这些裂纹会改变薄板弯曲时的应变能为：结构的动力特性。Li等基于变分法建立了含有压电作动器损伤板的数值模型。Yam等用动静法对板结=等筹(02w*+等)构的损伤检测参数的灵敏性进行了研

4、究。Qu等¨叫用Rayleigh—Ritz法建立了含有裂纹的压电复合板的振动2(1_)[等02W*一⋯2w*I+模型并且分析了裂纹对压电复合板振动特性的影响。r无网格伽辽金法卜是相对成熟应用较多的一』』{(等+~2W*／一种无网格方法。本文将EFGM应用于求解含压电片的裂纹板的横向振动问题，通过弹性动力学推广的Ham—2(1_)【等等一(02w*．)(1)ilton原理和EFGM建立了带压电层的含多裂纹矩形板式中：横向振动方程和特征方程。h(x，Y)=h。一d(，y)1含压电层裂纹板变分式，、r1，(，y)Ci0如图1所示，含有裂纹的矩形薄板的上下表面对【，其它hl=(

5、／2十hpe)一；／8称贴有压电片。设板厚为h，板沿，方向的边长分别为口和b，材料的密度为P，弹性模量Ep，泊松比。=薄板的总动能为：基金项目：国家自然科学基金项目(10872163)；陕西省重点学科建设专项基金=÷(一)(等)+收稿日期：2009—05—13修改稿收到日期：2009—07—24第一作者王砚女，博士，讲师，1975年生通讯作者王砚(等)y(2)振动与冲击2010年第29卷原理推广为：引入无量纲量：6Ⅱ=6一n⋯㈩：詈叩=舌c=詈=等r：Epehpe1一——时间初值e===AA==：：^^／／P-~--rpx-tz——时间终值代入(3)，得到无量纲含压电层

6、裂纹板变分式：n，=寺(一)w一)d厂+1(一(1_)瓣04Woaw／l(a2w雾)6(毒)]+c0·[()(OW)]一8【882w0,12]1叫[()]一(一)·(1()／hp)。，r2fo{cO[a2wa{、8w卜新(o[O=wa{ow，I一O2w^l／Ow)】)+毫6er{(+2c04w，]胁+毒[(警雾)6(毒)】+c[(雾)()】一毒[毒(雾)6][(Or#2}])一16erho(p“(，77)———————～——=——————一"rl=ll~lpeh；c一，{c毒[》(嚣)一(券)]+co[O=wal、)一著(嚣)"dr／dr+(一)f~2．foJc2ddr

7、／dr+毫：2A·++wSwdr~)¨co％(、Ow+挚(嚣)d叼)。㈩2无网格伽辽金法建立特征方程(1一t，c(一20向T，+，鹫Tm)]dcb7+根据移动最小二乘法，在域中任一点的近似无(c+J，dr／)+c．T，d+量纲横向位移加(，叼，r)近似为：d叼]}aw打：0(6)，f(，叼，r)=∑，(，叩)，()=经整理得到无量纲形式的横向振动方程：Mii(r)+Kw()=0(7)(，叼)w(r)(5)式中无量纲形函数和无量纲广义位移分别为：可以证明矩阵M，K都是对称矩阵，分别为：(，r／)=[(，r1)，咖：(，r1)，⋯，(，r1)