微分法在几何上的应用68553.ppt

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1、微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线和法平面定义设M是空间曲线L上的一个定点,M*是L上的一个动点,当M*沿曲线L趋于M时,割线MM*的极限位置MT（如果极限存在）称为曲线L在M处的切线下面我们来导出空间曲线的切线方程Ⅰ。设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.且导数不同时为零考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M0点且与切线垂直的平面.解切线方程法平面方程Ⅱ。空间曲线方程取x为参数法平面方程为Ⅲ。空间曲线方程切向量切线方程法平面方程为所求切线方程为法平面方程为二、

2、曲面的切平面与法线Ⅰ。设曲面方程为在曲面上任取一条通过点M的曲线曲线在M处的切向量令则切平面方程为法线方程为垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.曲面在M处的法向量即Ⅱ。空间曲面方程形为令曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为因为曲面在M处的切平面方程为切平面上点的竖坐标的增量其中解切平面方程为法线方程为解令切平面方程法线方程解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为是曲面上的切点，满足方程所求切点为切平面方程(1)切平面方程(2)例6在椭球面上求一点，使它的法线与坐标轴正向成等角解令则注意到法线与坐标轴正向的夹

3、角相等故解得所求的点为的法线的方向向量为故椭球面上任一点例7设z=z(x,y)由方程确定，其中f(u,v)可微证明z=z(x,y)表示锥面为曲面上一点则连接PP0的直线的方程为证得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以(a,b,c)为顶点的锥面。曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意符号）思考题三、小结空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）思考题解答设切点依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程练习题练习题答案