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时间:2020-04-03
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1、角的概念的推广弧度制题型一:角的概念的推广【知识链接】1.角的旋转定义: .2.角的大小扩充:正角:;负角: ;零角:.3.研究角的工具:平面直角坐标系.单独的一个角,由其终边位置,分为象限角、轴线角两类:4.象限角、轴线角:(1)象限角:第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角;如-330°、135°、-120°、-30°角,分别是第一、二、三、四象限的角.(2)轴线角:终边落在坐标轴上.如-90°、180°、90°、360°角,都是轴线角;【巩固与应用】例1概念辨析:(1)锐角;第一象限角;0
2、°~90°的角;小于90°的角.(2)钝角;第二象限角;90°~180°的角;小于180°的角.题型二:终边相同角集合定理及其应用【知识链接】1.研究多个角时,主要从它们的终边位置关系入手,分终边相同的角、终边对称的角两类.2.终边相同的角集合定理:所有与角终边相同的角,连同角在内,构成的集合= .推论1:第Ⅰ象限角集合: ; 第Ⅱ象限角集合: ;第Ⅲ象限角集合: ; 第Ⅳ象限角集合: ;推论2:终边在轴非负半轴上的角集合: ;终边在轴非正半轴上的
3、角集合: ;-终边在轴上的角集合: ;终边在轴非负半轴上的角集合: ;终边在轴非正半轴上的角集合: ;终边在轴上的角集合: .3.终边对称的角的结论:如果角、终边关于轴对称,则、的关系为: ;如果角、终边关于轴对称,则、的关系为: ;角、终边关于原点对称(共线),则、的关系为: .【巩固与应用】例1当分别为一、二、三、四象限的角时,探究二倍角、半角的终边分布规律.结果:一二三四终边在横轴上方一或三象限角例2写出与下列
4、个角终边相同的角的集合,并把中适合不等式的元素写出来:(1)60°14′; (2)-21°; (3)363°14′.1.若,,则角所在象限为AA.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限2.若是第二象限角,那么和都不是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.(1)已知分别为三象限的角,则所在的象限为DA.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限(2)若角的终边与的终边相同,则在内终边与角的相同的是 .题型
5、三:弧度制及其结论的应用【知识链接】1.度量角的体制有两种,一个是角度制,另一个是弧度制.弧度制是另一种度量角的单位制.单位 ,符号: .2.1弧度角的规定: .3.圆中重要的比例关系:同圆或等圆中,两个圆心角之比等于它们各自所对的弧长之比.【巩固与应用—弧度公式、基本换算关系及弧长扇形面积公式】例1推导弧度公式:.证明:设圆心角弧度数绝对值为,所对弧长,圆半径.∵1rad的圆心角所对弧长为 ,∴弧度的圆心角所对弧长为 ,又弧度的圆心角所对弧长为,∴ ,于是有 .即
6、 .注:角的概念推广后,弧度的概念也随之推广,即:正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0;例2推导角度与弧度互换的基本关系、特殊角的弧度与角度互换关系.提示:(1)角度换算成弧度的基本关系为:360°= rad,180°= rad,1°= rad≈ rad.(2)弧度换算成角度的基本关系为: rad=360°, rad=180°,1rad=( )°≈ °= ° ′.(3)特殊角的度数与弧度数的对应表:度0°15°30°45°60°75°90°120°135°弧度1
7、50°180°210°225°240°270°300°315°330°360°例3推导弧度制下弧长公式、扇形面积公式.结果:(1)弧长公式: ,(2)扇形面积公式: .扇形面积公式的推导:∵圆心角为1rad的扇形的面积为 ,而弧长为的扇形的圆心角的大小为 ,∴它的面积 .注:角度之下,弧长、扇形面积公式各是什么?例4写出弧度制下常见的角集合.(1)第Ⅰ象限角集合: ; 第Ⅱ象限角集合: ;第Ⅲ象限角集合: ; 第Ⅳ象限角集合: .(2)终边在
8、轴非负半轴上的角集合: ; 终边在轴非正半轴上的角集合: ;终边在轴非负半轴上的角集合: ; 终边在轴非正半轴上的角集合: ;终边在坐标轴非负半轴上的角集合: .(3)终边相同的角集合: .(4)终边关于轴对称的角、的关系:;终边关于轴对称的角、的关系:;终边关于原点对称的角、的关系:.小结:角的概念推广后,无论是用角度制还是用弧度制,都能在角集合与实数集之间建立起一种一一对应关系;1.若一段圆弧的长等于
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