微分中值定理的教学实践与探索

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1、高等数学研究VoI．13，NO．52STUDIESINC()LLEGEMATHEMATICSSept．，2010微分中值定理的教学实践与探索柴长建(衢州学院教育系，浙江衢州，324000)摘要通过对微分中值定理的教学过程进行探究，优化教学设计，启发引导学生从观察几何事实、了解历史背景、挖掘思想方法、思考拓展问题等四个方面逐步加深对微分中值定理的认识，以此提高课堂教学效果，培养学生的数学能力，为微分中值定理的应用打下基础．关键词几何事实；历史背景；思想方法；问题思考中图分类号O13；G642．4微分中值定理是微分学的核心定理，是研究函数

2、处的函数值不相等；④图3中的函数用参数方程表的重要工具，也是导数应用的理论基础．由于其理论示；⑤三个图都有一个共同的特征：曲线上某点处的性强、抽象程度高，教学过程处理不当很容易照本宣切线与曲线两个端点连结形成的割线平行．科，导致许多学生不会灵活应用所学知识，甚至学习1．2启发引导积极性下降，兴趣不高，不利于后续内容的学习．笔者由上述最后一条观察发现可知：如果图1、图2中在具体教学实践中，进行了积极探索．的曲线在点(，-厂())处的切线斜率与曲线两个端点1从直观的几何事实引入微分中值定理连结形成的割线斜率相等，那么即有1．1观察发现()

3、：：=．口一口若图3中的曲线在点(厂()，g(O)处的切线斜率等于两端点连线的斜率，那么即有厂()一厂(6)一厂(＆)g()g(6)一g(Ⅱ)‘通过多媒体技术对曲线形状进行调整，可以得到图1罗尔定理用图直观的结论：具有该特征的点至少存在一个．1．3总结归纳罗尔定理若函数-厂(z)满足条件：在[n，6]上连续；在(a，6)内可导；厂(口)一厂(6)，则在(口，6)内至少存在一点，使得{一0拉格朗日定理若函数厂(z)满足以下条件：在图2拉格朗日定理用图[口，6]上连续；在(口，6)内可导，则在(口，6)内至少存在一点，使得：，()．柯西定

4、理若函数．厂(z)，g(z)满足以下条件：在[n，阳上连续；在(n，6)内可导；g(z)≠0，则在区图3柯西定理用图间(n，6)内至少存在一点，使得①三个图中的函数都在[n，6]上连续，在(a，6)厂(6)一厂(8)一f()内可导；②图1中的函数在区间[，6]两个端点处的g(6)一g(口)g()‘函数值相等；③图2中的函数在区间[a，6]两个端点三个微分中值定理之间不是互相独立的，而是有着非常密切的联系．罗尔定理是拉格朗日定理的特殊收稿日期：2009—03—16；修改日期：2009—07—05．作者简介：柴长建(1978-)，男，浙江

5、衢州人，讲师，从事数学教学与应情形(当厂(n)一厂(6)时)；拉格朗日定理是柯西定理用研究，Email；ccj21cn@126．com．的特殊情形(当g(z)一z时)；当函数用参数方程表第13卷第5期柴长建：微分中值定理的教学实践与探索3示时，拉格朗日定理就变成了柯西定理．三者的关系至少有一个实根．可以表示为：这是现在罗尔定理的特例．1797年，法国数学家拉格罗尔定理朗日(Lagrange，1736—1813)在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理的最初形式，即：特例㈤)fI：不I定／(a)knl(b)的大小关系函数厂(z)在Xo和z

6、之间连续，(z)的．拉格朗日定理fI最大值为A，最小值为B，则兰二必特例()=『IlI推J一：函用参数方程表示．27。——370取A，B之间的一个值．扣』西定理并给出最初的证明．对微分中值定理进行系统研究的图4微分中值定理关系图是法国数学家柯西(Cauchy，1789—1857)，他是数学这样的教学引入过程，不仅可以让学生在直接观分析严格化运动的推动者，他的三部巨著《分析教察中归纳出微分中值定理的几何特征，引导学生利用程》(1821年)、《无穷小计算教程概论》(1823年)、《微学过的知识总结出微分中值定理，从而形成对微分中分计算教程

7、》(1829年)，以严格化为其目标，对微积值定理的初步认识，而且还可以充分调动学生的主动分理论进行了重构．他首先赋予中值定理以重要作性，既锻炼其观察能力和归纳猜想能力，又能增强其用，使其成为微分学的核心定理．在《无穷小计算教程学习的信心，在教学过程中起到事半功倍的作用．概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又2用丰厚的历史背景激发学生的学习兴趣在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理——通用的教材比较注重知识的逻辑结构，忽视知识柯西定理，它的最初形式是：的形成过程和文化背景，而微分中值定理的历史文化，(z)和F(z)在[z。，

8、]上有连续的导内涵极为丰富[】]．数，并且F(z)在[z。，z]上不为零，这时对人们对微分中值定理的认识可追溯到古希腊时于某一点∈(z。，)，有代，那时的数学家们在几何研究中得到如下结论：厂(z)一f(xo)一厂()过抛