建模需要思想，也需要数学训练和手上功夫—b题综合评述

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第19卷建模专辑工程数学学报．19spp加。月JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSFeb2002文章编号：1005—3085(2002)05—0107—06建模需要思想，也需要数学训练和手上功夫——B题综合评述刘宝光(北京理工大学．北京100081)摘要：本文对于2OO1年全国太学生教学建横竞赛B题的解答，从模型框架、模型建立和模型求解等三千方面鲭出评述。美键词：公交车调度；敦学规划模型；目标规划分粪号：AMS(2000)90C08中舶分类号：

2、Tbl141文献标识码：A1模型框架正如题目的标题所示，这是一个“公交车调度问题”。题目给定了限制条件和目标，要求在一定统计数据资料的基础上，构建理论模型并据以实现调度。应当指出，构建“明确、完整的数学模型”，是本题懈案要求的一个本质性的方面。事实上，每一天，在全国各地，都有无数的车队调度在作这类问题。他们遵守各自的约束，追求各自的目标，用他们习惯了的方法调度车辆，指挥着全国各地公交车的运行。他们不见得都有多高深的数学修养，所给出的调度方案也不见得都是合理的优良的。本题的意义，并非要参赛者习作普通的车队调度，而是要求

3、对这一问题用数学方法作更深一层次的探讨。这次有占相当比例的答卷没有完成明确、完整的模型的建立，只从数据出发，凭某种直观方法给出一个可行的调度方案。应当说这是不符合题目要求的，因而都不在得奖者之列。考察题意最直接的想法会是建立数学规划模型。在培出了数学模型的答卷中，恐怕有七成以上是用的各种不同的数学规划模型。模型的变量，既然题目要求设计调度方案，最自然的就是发车时刻系列T1，T2，⋯，但这一变量，其维数m很高，而且是不定的。这会为使用某些成熟的优化数值方法求解带来麻烦。一种适当的简化方法是将全天分作若干时段，在每一类时

4、段中等间距发车。这时，模型的变量可取作各类时段的发车时问间距，从而可建立有确定的低维数的数学规划模型。例如，将全天分为平峰时段和高峰时段，分别间距f1和t2分钟发一班车，则可得到以(，f2)为变量的2维模型。题目称调度方案应满足四项要求。若记i为乘客候车时间，；为早高峰时乘客候车时间，为车辆载客人数，则要求为(a)≤1O分钟；(b)；≤5分钟；(c)≥50；(d)P≤120。维普资讯http://www.cqvip.com108工程教学学报第19卷按照题目所列的乘车人数统计数据，严格满足这四项要求的调度方案是不存在的

5、。而题目只是限定()为硬性约束，不应违反。其他三条使用“一般不要”措词，即是说可以违反，但应使违反程度尽可能低。这很自然导向使用目标规划(goalprogramming)~，而且粗看起来，如下模型是合理的，rain(，，)(1)￡．f～5≤10(2)r～≤5(3)p+≥50(4)≤120(5)1≥z(6)n，t2，s，，s≥0(7)然而，由于约束(2)和(3)要对每个乘客成立，约束(4)和(5)要对每辆车每个路段(指相邻二车站间的道路区段)成立，这一模型只有观赏意义，是难以处理的。将和r换作所有乘客的最大候车时间。换

6、作各车各路段的最小载客数，便真的是作成了三个约束。但此时、f和作为(1，2)的函数难以给出表达。不仅如此，因为和r是以分钟为单位的等候时间数，是车上的人数，二者是不可比较的，所以会给权因子的设置带来困难。这样的模型在答卷中有，为数极少。如上述，这一模型实际上是不能操作的。必须另外想变通的方法。一种作法是计算两种时段中超时候车(>10，r>5)的乘客数在各段乘客总数中所占的百分比(作为(￡l，t2)的函数)，计算载客人数p<5O的车路段数在全部车路段数中所占的百分比，即gl(f2)=豢，：(tl,t2=题镰，并要求其取

7、最小。这样直接导致多目标规划问题rain(gl，g2，g)(8)s．t．≤120(9)l≥2≥0(10)三个百分率函数gI，g2，毋的引A，既将涉及各个乘客和单个车路段的要求目标整合为一种集总的表述，又将三个函数的数量统一为无单位的百分率，使之有良好的可比性，易于用加权和形式化为单目标问题，从而使问题(8)一(10)成为一实际可操作的模型。这次评定得奖的答卷，很大一部分都采用了各种不同的集总表示。如不少答卷定义了各种不同的乘客满意度指标和公交公司满意程度指标，也有的用总等待时间和总发车数，平均等待时间和平均载客量等。

8、这些集总表示各有长短，所导致的调度方案也各不相同，但只要想法台理．表述和计算正确，都是合理的解答。但是有的答卷，设想了公交公司利益和乘客利益的一些不同的方面，作为要优化的目标函数，而将(a)一(d)四项要求作为约束条件，因无可行性，便放开某一条或某几条，仍将其余的作为硬性约束。更有个别答卷将(a)一(c)三条作为硬性约条处理，而完全放开表现载客