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1、专题七 几何图形的探究猜想与证明类型一 一般的猜想探究题题型特点一般几何题的猜想与证明近几年在中考中间断性出现,以学生探究为主线,置身于数学问题的发现与解决中,一般在22题以综合与实践的形式出现,考查学生分析问题、解决问题的能力.常综合平行线、等腰三角形(等边三角形)、直角三角形、平行四边形、矩形、正方形等知识为一体,借助逻辑推理一步一步证明,建立方程模型思想,如常见的通过勾股定理、相似三角形对应边成研题型·解易比例、解直角三角形、面积法、平行线分线段成比例定理等得出关于未知数的方程,从而求解.方法规律在复习一般几何题的猜想探究题目时,要注意证明推理
2、和方程模型计算的综合,要对条件进行合理猜想与推理,结合自己的解题经验及对题目的把握灵活处理.复习时注意以下几点:1、注意总结考查知识的面与点,了解此类题目的特点;2、针对此类问题的练习要注意总结知识间的联系,提升思维的开放性;3、针对自己在做题中遇到的问题进行相应的总结与练习,不断提升分析问题、解决问题的能力.典例1(2018·山西)问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的
3、位置关系.探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:解题策略图1证明:∵BE=AB,∴AE=2AB.∵AD=2AB,∴AD=AE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴=.(依据1)∵BE=AB,∴=1.∴EM=DM.即AM是△ADE的DE边上的中线,又∵AD=AE,∴AM⊥DE.(依据2)∴AM垂直平分DE.反思交流:(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE
4、的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;探索发现:(3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C、点B都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上?请写出一个你发现的结论,并加以证明.图2图3思路点拨根据平行线分线段成比例,三线合一,正方形、矩形性质,全等等知识解答.(1)①答:依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例).依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的
5、高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).②答:点A在线段GF的垂直平分线上.(2)证明△GHC≌△CBE,得出HCBH.(3)先证△ENF≌△EBC,再证BMMC.开放解答解析(1)①依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例).依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).②点A在线段GF的垂直平分线上.(2)过点G作GH⊥BC于点H,证明:过点G作GH⊥BC于点H.∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°.∴∠1+∠2=90
6、°.∵四边形CEFG为正方形,∴CG=CE,∠GCE=90°.∴∠1+∠3=90°,∴∠2=∠3.∴△GHC≌△CBE.∴HC=BE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC.∵AD=2AB,BE=AB,∴BC=2BE=2HC,∴HC=BH.∴GH垂直平分BC.∴点G在BC的垂直平分线上.(3)过点F作FM⊥BC于点M,过点E作EN⊥FM于点N,点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).证法一:过点F作FMBC于点M,过点E作ENFM于点N.则有∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,∴∠CBE=∠
7、ABC=90°.∴四边形BENM为矩形.∴BM=EN,∠BEN=90°.∴∠1+∠2=90°.∵四边形CEFG为正方形,∴EF=EC,∠CEF=90°.∴∠2+∠3=90°.∴∠1=∠3.∵∠CBE=∠ENF=90°,∴△ENF≌△EBC.∴NE=BE.∴BM=BE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC.∵AD=2AB,AB=BE,∴BC=2BM.∴BM=MC.∴FM垂直平分BC,∴点F在BC边的垂直平分线上.证法二:过F作FN⊥BE交BE的延长线于点N,连接FB,FC.∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,∴∠CBE=∠ABC=∠N=90°.∴∠
8、1+∠3=90°.∵四边形CEFG为正方形,∴EC=EF,∠CEF
