倒立摆的局部反馈线性化控制方法.pdf

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1、控制系统《微计算机信息》(测控自动化)2009年第25卷第8-1期文章编号:1008-0570(2009)08-1-0004-03倒立摆的局部反馈线性化控制方法Partialfeedbacklinearizationcontrolforinvertedpendulumsystem(哈尔滨工业大学威海)陈玉敏曲延滨CHENYu-minQUYan-bin摘要：针对一级倒立摆系统，基于局部反馈线性化方法将系统的动力学转换为便于控制器设计的级联系统模型，并利用线性矩阵不等式设计了满意PID控制器。实验结果表明，该方

2、案实现了系统输出对指令信号的精确跟踪且具有抗干扰能力。关键词：局部反馈线性化；线性矩阵不等式；满意PID控制中图分类号：TP273文献标识码：AAbstract:Thecascadesystemmodelforsingleinvertedpendulumisobtainedbasedonpartialfeedbacklinearizationmethod.TheLMIisappliedtoobtainasatisfactoryPIDcontroller.Theexperimentalresultsshowt

3、hattheproposedschemehasrealizedapreciselocationoftheoutputunderdisturbances.Keywords:partialfeedbacklinearization;LMI;satisfactoryPIDcontrol技生活中机械臂等装置工作过程中需要对其末端位置进行精确1引言术控制，所以在笛卡尔坐标系内我们选取摆杆的末端位置作为系倒立摆系统是一个多变量、非线性和强耦合的自然不稳定统的输出：y?h?q??x?2lsin?。创系统。倒立摆的研究对于

4、火箭飞行控制、机器人以及欠驱动机当选取系统输出h?q?为广义坐标x和?的光滑函数时，系械臂等的控制研究具有重要的实践意义。而对倒立摆的控制器统(2)的相对阶为2，所以我们只能进行局部反馈线性化，此时系统
新设计很多都是基于倒立摆系统的线性化模型完成的。本文基于中存在内部动态。对系统(2)采用如下坐标变换：??
?
?
?




?局部反馈线性化的方法将倒立摆系统非线性模型转换为由线
即?y,y
,?,?
?。整理可得性子系统和内部动态构成的级联系统模型，而后利用线性矩阵?

2?3cos?3gsi

5、n?cos?
4?6cos??y

?f??2lsin??
?gu不等式设计了满意PID控制器。?(3)224??

?f?gu?

2倒立摆系统的数学模型选取如下状态反馈控制律：在忽略各种摩擦力之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀
4?3cos??23gsin?cos?
?质杆组成的系统。根据拉格朗日方程，选取x和?为广义坐标，u?
??f??2lsin??
????4?6cos??g?22?(4)可得一级倒立摆系统的动力学方程为其中，??t?为外部输入控制信号。则系统(3)经局部反馈线性M?m?m

6、lcos?

?

?u???x?mlsin????化后为?
??

???????y
?y
??mlcos?4ml3??????mglsin???0?(1)

(5-a)y??其中，为加在小车上的力，为小车质量，为摆杆质uMm3gsin??3cos??3cos?sin?
?

???
量，为摆杆转动轴心到杆质心的长度，为小车位置，为摆lx?2l?2?3cos
??2?3cos
?(5-b)杆与垂直向上方向的夹角，g为重力加速度。由式(5)可以看出，经过局部反馈线性化以后，倒立摆系统根据拉格朗日系统惯性矩阵

7、正实性的性质式(1)进一步整的模型转变为由线性子系统和内部动态构成的级联系统模型。理可得其中，式(5-b)表示系统的内部动态。另外，控制律(4)在?x
??x
??0???????????.061rad.0,61rad?范围内使系统局部稳定的。?
?
0????????u(2)?x

??f??g?4控制器设计????????

??f
??g
?本文的目标是设计倒立摆系统的稳定控制器，在保证闭环其中，系统的稳定性的基础上，保证闭环系统的极点位于期望的范围??f
?3mgsin?cos?4?mlsin

8、??
g
,f??3cos?f
?3gsin???4l?之内。当系统的输出跟随指令信号y
?t?时，选取状态变量为

g?4?4M?m?3msin
??,g?3cos?g?4l?z??z,z???y?y,y
?y
?，则系统的跟踪误差状态方程为

z
?z
3系统的局部反馈线性化z
???y

(6)

采用Lie理论方法对倒立摆模型进行反馈线性化。在实际对于子系统(6)选用如下的状态反馈控制规律：