2020高考数学二轮总复习课时跟踪检测（二十四）导数与不等式理.docx

《2020高考数学二轮总复习课时跟踪检测（二十四）导数与不等式理.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、课时跟踪检测(二十四)　导数与不等式A卷1．(2019·浙江模拟)已知f(x)＝ex＋e－x－alnx(a∈N，且a≥2)的极值点x0∈.(1)求a的值；(2)若不等式f(x)≥b(b∈Z)恒成立，求b的最大值．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ex－e－x－，f″(x)＝ex＋e－x＋，在(0，＋∞)上，f″(x)>0恒成立，∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．∵f(x)＝ex＋e－x－alnx(a∈N，且a≥2)的极值点x0∈.∴f′＝－－2a<0，f′(1)＝e－－a>0，又a

2、∈N，且a≥2.可得a＝2.(2)首先当x＝1时，f(1)＝e＋e－1∈(3,4)，又∵b∈Z，∴b≤3.其次，我们可以证明不等式：ex＋e－x>x2＋2(x>0)．设g(x)＝ex＋e－x－x2－2(x>0)，g′(x)＝ex－e－x－2x，g″(x)＝ex＋e－x－2>0恒成立．∴g′(x)＝ex－e－x－2x>g′(0)＝0恒成立．∴g(x)>g(0)＝0恒成立．∴ex＋e－x>x2＋2(x>0)．∴ex＋e－x－2lnx>x2＋2－2lnx(x>0)．设h(x)＝x2＋2－2lnx(x>0)，h′(x

3、)＝2x－＝.可得当x＝1时，函数h(x)取得极小值即最小值，∴h(x)>h(1)＝3，∴ex＋e－x－2lnx>3恒成立，∴b的最大值是3.2．(2019·深圳二模)已知函数f(x)＝aex＋2x－1.(其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：对任意的a≥1，当x>0时，f(x)≥(x＋ae)x.解：(1)由f(x)＝aex＋2x－1，得f′(x)＝aex＋2.①当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增；②当a<0时，由f′(x)>0，解得x

4、ln，故f(x)在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当a≥0时，函数f(x)在R上单调递增；当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)证明：f(x)≥(x＋ae)x⇒－－＋－e≥0，令g(x)＝－－＋－e，则g′(x)＝.当a≥1时，aex－x－1≥ex－x－1.令h(x)＝ex－x－1，则当x>0时，h′(x)＝ex－1>0，∴当x>0时，h(x)单调递增，h(x)>h(0)＝0.∴当01时，g′(x)>0，

5、g(x)单调递增．∴g(x)≥g(1)＝0.即－－＋－e≥0，故f(x)≥(x＋ae)x.B卷1．(2019·桃城区校级模拟)已知函数f(x)＝xlnx.(1)求曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>1时，求证：存在c∈，使得对任意的x∈(c,1)，恒有f(x)>ax(x－1)．解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝xlnx，得f′(x)＝lnx＋1，∴f(1)＝0，k＝f′(1)＝1，故所求切线方程为y－0＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.(2)证明：由f(x)>ax

6、(x－1)，得xlnx>ax(x－1)，由x>0，可得lnx>a(x－1)，设g(x)＝lnx－a(x－1)，则g′(x)＝－a＝＝－，当x∈时，g′(x)>0，当x∈时，g′(x)<0，∴g(x)在上单调递增，在上单调递减．由g(x)在区间上是减函数及g(1)＝0，得当x∈时，g(x)>0，①又g(e－a)＝lne－a－a(e－a－1)＝－ae－a<0，则存在x0∈，即x0∈，使得g(x0)＝0.又g(x)在区间上是增函数，∴当x∈时，g(x)>0.②由①②可知，存在c∈，使g(x)>0恒成立，即存在c∈，

7、使得对任意的x∈(c,1)，恒有f(x)>ax(x－1)．2．(2019·凯里市校级模拟)已知函数f(x)＝2x－－alnx(a∈R)．(1)当a＝3时，求函数f(x)的极值；(2)设g(x)＝f(x)－x＋2alnx，且g(x)有两个极值点x1，x2，其中x1∈(0,1]，证明：g(x1)≥g(x2)．解：(1)易求f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝3时，f(x)＝2x－－3lnx，f′(x)＝2＋－＝，令f′(x)>0得01；令f′(x)<0得

8、∞)，单调递减区间是，即当x＝时，函数f(x)取得极大值f＝－1＋3ln2，当x＝1时，函数f(x)取得极小值f(1)＝1.(2)证明：由已知得g(x)＝f(x)－x＋2alnx＝x－＋alnx，x>0，g′(x)＝1＋＋＝，令g′(x)＝0，得x2＋ax＋1＝0，∵g(x)有两个极值点x1，x2，∴∴∴g(x1)－g(x2)＝g(x1)－g＝x1－＋alnx1－＝2＋2alnx1＝2－2lnx1，