现代信号处理aa.doc

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1、第五章、谱估计研究二阶平稳随机过程特征－功率谱密度－揭示随机过程中所隐含的周期及相邻的谱峰等有用信息。则要用有限长的N个样本数据去估计该平稳随机过程的功率谱密度－谱估计的方法。此种估计是建立在时间平均的方法之上，并假定具有遍历性。经典谱估计－线性、非参数化方法：周期图法，相关图法等。采用经典的傅里叶变换及窗口截断。对长序列有良好估计。b5E2RGbCAP现代谱估计－非线性、参数化方法：最大似然估计，最大熵法，AR模型法，预测滤波器法，ARMA模型等。对短序列的估计精度高，与经典法相互补充。是融合经典变换理论、统计估计理论、系统辨识、信

2、息论、时间序列分析及计算方法等理论与技术－新学科。应用广泛，发展迅速。p1EanqFDPw1807--FourierTransform1890’s—Schuster--Periodogram周期图若处有正弦信号与噪声叠加，在处周期图出现峰值1930-Wiener-Kinchine定理，广义谐波分析。定义自相关函数与功率谱，并证明两者互为傅氏变换。DXDiTa9E3d1958-Blackman-Tukey-BT法-由通信工程观点测量功率谱观测数据－自相关估计－乘窗函数－傅氏变换-->功率谱39/391965-Cooley-Tukey—F

3、FT—重提周期图法，广泛使用的经典法1967—现代谱估计－Burg－最大熵谱估计－地震－线性预测1968-Parzen-自回归AR谱估计法1971-VanDenBos-证明最大熵谱估计与AR谱估计法等价。自此开始了现代谱估计的深入研究：MA,ARMA模型等构成现代谱估计的参量法、还有非参量法1969Capon最大似然谱估计RTCrpUDGiT经典谱估计＋现代谱估计＝完整的谱估计理论长数据序列－必需应用经典谱估计－性能良好短数据序列－现代谱估计－估计精度分辨度大大高于经典法。因BT法及周期图法－无限长序列开窗截断＝有限长序列。数据开窗、

4、自相关开窗－频域发生“泄漏”，即功率谱的主瓣能量泄漏到旁瓣中，导致弱信号的主瓣被强信号的旁瓣所湮没，造成谱的模糊。改进窗函数－抑制旁瓣－损失谱的分辨度。5PCzVD7HxA短序列－谱分辨度的极限＝1/序列长度。现代谱估计适用于短序列的情况，非线性运算，发展很快，新方法层出不穷。80年代，利用信息论的熵谱估计法，多谱<高阶谱）估计及多维谱估计等。小波、分数维等。jLBHrnAILg§5－1、谱密度意义一、能谱密度设x(t>39/39是确定性的复连续信号，若其绝对可积或其能量有限，即：则x(t>的连续傅氏变换存在，由下式给出：根据Pars

5、eval能量定理，有：由上式可见，信号能量E等于信号频谱模值平方在整个频域上的积分，故称为信号的能谱密度。当x(t>为广义平稳过程时，其能量通常是无限的，则需研究其功率的频域上的分布，即功率密度。对于平稳随机过程，谱分析是采用自相关函数：xHAQX74J0XWiener-Kinchine定理将自相关函数与功率谱密度联系起来：离散形式－为平稳、零均值序列；其自相关(协方差>函数为：39/39若有：则功率谱密度为：是以0对称，周期为2p。反变换为：其自相关函数的估计由时间平均函数给出：功率谱的估计为：若定义矩形窗即加窗截断为有限长序列，则

6、有：功率谱的估计可写成：将m=n+k代入上式，得：39/39式中为数据序列的离散傅氏变换DFT。(5-13>式－间接法、相关图法(5-16>式－直接法、周期图法§5－2、相关图法(CorrelogramMethod>根据Wiener-Kinchine定理，先估计出有限长信号x(n>的自相关函数，即：易见是偶函数，其长度为2N-1.实际计算时，由于x(n>只有N个观测值，则对于每个延迟，可用的数据只有LDAYtRyKfEN-1-个，故可将上式改写成：第二步，求的DFT,得到x(n>的功率谱估计：39/39由于功率谱是经自相关函数间接求出

7、的，故称间接法。平稳随机过程的自相关函数应为：显见，实际上自相关估计是仅用有限个数据得到的。现在，来讨论相关图法的性能，即接近的程度。k估计偏差：所以估计的偏为：故可得出结论：m¹0，为有偏估计。当N®¥，m＝有限，偏®0，故为渐进无偏估计。k估计方差：推导过程略。(l=n-k>39/39显然，当N®¥，；又因为：故为的渐进无偏一致估计。显然，N越大，估计精度越高。当N,m均较大时，还可利用FFT进行计算。由自相关可通过式(5-20>计算功率谱。M越大，分辨率越高，但自相关的偏差及方差也相应增大，通常取M=N/10—N/5，较好。Zz

8、z6ZB2Ltk§5－3、周期图法(PeriodogramMethod>定义：长度为N的实平稳随机信号序列的周期图为：式中即直接由序列的DFT计算出来的。由于x(n>的DFT有周期性，所以也有周期性。周期图法谱估计的性能