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1、襄樊广播电视大学中专数学第八章极限与连续§8-4级限的运算法则两个重要级限7/27/20211极限的运算法则两个重要极限一、极限的运算法则在给出了极限的定义之后，可以观察出某些函数的极限，但对于较复杂的函数，就很难用观察的方法得出，为此我们给出极限的运算法则。设函数f(x)和g(x)当x→x(或x→∞）时有极限A和B，即limf(x)=A,limg(x)=B则有下列法则成立：（1）两个具有极限的函数的代数和的极限等于这两个函数极限的代数和，即lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B（2）两个具有极限的函数的乘积的极限等于这两个函数极限的乘积，即lim
2、[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B，如果f(x)=g(x),则有7/27/20212(3)常数因子可以提到极限符号的外面,即limCf(x)=Climf(x)=CA(C为常数)(4)两个具有极限的函数的商的极限,当分母的极限不为零时,等于这两个函数极限的商，即法则（1）和法则（2）可以推广到具有极限的有限个函数的情形。特别地，若n为正整数，则有利用以上的法则可以求出一些比较复杂的函数的极限。7/27/20213例1求解例2求解7/27/20214例3求解当x→4时,分母的极限为零,这时不能应用法则(4),但在x→4的过程中,x≠4,所以可以约去分子和
3、分母中的公因子x→4.故有7/27/20215例4求解由于当x→∞时,分子和分母都是无穷大量而无极限,因此不能直接使用求极限的法则,这时可用分母中自变量的最高次幂同除原式中的分子分母,再利用求极限的法则,得7/27/20216例5求解先用除分子分母,然后取极限,得7/27/20217例6求解先用除分子及分母,再求极限,得7/27/20218由例4、例5、例6可以看出，当分子和分母都是x的多项式，在求x→∞的极限时，如果分母的次数和分子的次数相同，则极限为一常数；如果分母的次数比分子的次数高，则极限为零；如果分母的次数比分子的次数低，则极限为无穷大。上面所使用的方法通常叫着无穷小
4、量分出法。二、两个重要的极限下面我们将介绍微积分学中的两个重要的极限。1.我们取一系列绝对值趋于零的x的值,相应地得到的一系列对应值,列表如下:x±±±±±±…→00.97450.99360.99840.99960.99990.99999…→17/27/20219从表中可以看出,当
5、x
6、→0时,可以证明例7求解例8求解7/27/202110例9求极限解7/27/202111例10求解令arctanx=t,则tant=x,当x→0时,t→0,于是有7/27/2021122.(e=2.71828182845…是无理数)我们取一系列绝对值越来越大的x值,相应地得到一系列对应值,列表如
7、下:x…10…2.593742.704812.716292.718152.718272.71828…x-10…2.867972.732002.719642.718412.718302.71828…7/27/202113由上表可知,当无限增大时,的值就无限接近常数e=2.71828…,可以证明若在上式中,令即7/27/202114例11求解例12求解将改写成,7/27/202115例13求解例14求解令t=tanx,则当x→0时t→0,故有7/27/202116累了吧,休息一会儿!7/27/202117
