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1、八年级数学备课组王晓晨第一章三角形的证明学习目标：1.线段垂直平分线的性质定理和判定定理的证明与应用．2.掌握和证明三角形三条边的垂直平分线的性质定理；3.已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．用心想一想，马到功成如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?怎样作图？线段垂直平分线的性质：定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．证明：∵MN⊥
2、AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．ACBPMN如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).ACBPMN几何语言：用心想一想，马到功成你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．当我们写出逆命题时，就想到判断
3、它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．C证法二：取AB的中点C，过P,C作直线．∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB∴P
4、点在AB的垂直平分线上．C已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．一题多解C已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．一题多解证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P点在线段AB的垂直平分线上．线段垂直平分线的判定：定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段
5、的垂直平分线上．如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).几何语言：ACBPMN这样说行吗？如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。想一想，做一做已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC．证明：∵AB=AC,∴A点在线段BC的垂直平分线上．同理，点O在线段BC的垂直平分线上．∴直线AO是线段BC的垂直平分线．动手做一做，看有什么发现？为什么？1.先画任意一个三角形，在
6、用尺规作出它的三边的垂直平分线，你有什么发现？三角形三边垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。2．分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。命题的证明：已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P,求证：点P也在AC的垂直平分线上证明：连接AP,BP,CP.∵点P在线段AB的垂直平分线上,∴PA=PB同理,PB=PC.
7、∴PA=PC.∴点P在线段AB的垂直平分线上,∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.ABCP这是一个证明三条直线交于一点的证明根据。动手做一做，小组议一议(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?已知：三角形的一条边a和这边上的高h求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h1ADCBAah()DCBAah1ADCBAah1A这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作
8、几个?所作出的三角形都全等吗?这样的等腰三角形也有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．如图所示，这些三角形不都全等．动手做一做，小组议一议(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的
