八-常微分方程初值问题的数值解2解析.ppt

《八-常微分方程初值问题的数值解2解析.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§6.5Runge-Kutta(龙格-库塔)方法在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法一、Runge-Kutta法的基本思想（1）Runge-Kutta法的基本思想（2）Runge-Kutta法的基本思想（3）二、二阶龙格－库塔方法三、三阶龙格－库塔方法四、四阶龙格－库塔方法解：例2：用经典的Runge-Kutta方法求解下列初值问题。经典的四阶Runge-Kutta公式：0.10.20.30.40.51.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91

2、.01.48321.54921.61251.67331.7321同保留5位的精确值完全一致：0.10.20.30.40.51.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48321.54921.61251.67331.7321二、高阶和隐式Runge-Kutta方法注：对于显式N级R-K方法，最多只能得到N级方法；N1,2,3,45,6,78,910,11,…NN-1N-2已经证明N级R-K方法的阶具有下列关系：若要得到N阶以上方法，则使用N级隐式R-K方法N级隐式R-

3、K方法的一般形式：N级隐式R-K法可以达到2N阶(1)一级二阶的隐式中点方法：(2)二级四阶的隐式R-K方法：三、变步长方法基本思想：根据精度自动地选择步长对于经典Runge-Kutta方法：Step1:设从出发，以为步长，经过一步计算得到Step2:取为步长，再从出发，经过两步计算得到记如果，则将步长折半进行计算，直到为止此时取为最终结果；如果，则将步长加倍进行计算，直到为止此时将步长折半一次计算，得到的为最终结果。一、收敛性/*Convergence*/§3单步法的收敛性、相容性和绝对稳定性对于初值问题的一种单步法产生

4、的近似解，如果对于任一固定的，均有，则称该单步法是收敛的。类似地可以定义隐式单步法、多步法（§4）的收敛性设初值问题（*）对应的下列单步法是阶的，且函数满足对的Lipschitz条件，即存在常数则该单步法是收敛的，且证明：记由截断误差的定义因为单步法是阶的：满足其中二、绝对稳定性/*AbsoluteStibility*/计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响首先以Euler公式为例，来讨论一下舍入误差的传播:设实际计算得到的点的近似函数值为，其中为精确值，为误差如果，则误差是不增的，故可认为是稳定的例如：对于初值问题精确

5、解为而实际求解的初值问题为精确解为在处的误差为可见误差随着的增加呈指数函数增长如果初值问题为精确解为实际求解的初值问题为精确解为在处的误差为可见误差随着的增加呈指数函数递减当时，微分方程是不稳定的；而时，微分方程是稳定的。上面讨论的稳定性，与数值方法和方程中有关实验方程：对单步法应用实验方程，如果，当时，则称该单步法是绝对稳定的，在复平面上复变量满足的区域，称为该单步法的绝对稳定域，它与实轴的交集称为绝对稳定区间。若单步法是阶的，则由实验方程可得：例3：分别求Euler法和经典的R-K法的绝对稳定区间。解：Euler公式

6、：将其应用于实验方程绝对稳定域：当时，绝对稳定区间：经典的R-K公式：当时，绝对稳定区间：可以证明：存在唯一极小值点由得例4：求梯形公式（隐式方法）的绝对稳定区间。解：梯形公式：将其应用于实验方程当时，绝对稳定区间：