二次根式复习专题讲义(补课用).doc

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1、二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。②.（a≥0）是一个非负数。③.（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）2.二次根式的乘：①.一般的，有·＝．（a≥0，b≥0）②.反过来，有＝×(a≥0，b≥0)3.二次根式的除：①.一般地，对二次根式的除法规定：=（a≥0，b>0），②.反过来，=（a≥0，b>0）4.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。典型例题分析：例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（

2、x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0。解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、。例2.当x是多少时，+在实数范围内有意义？分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义。变式题1：当x是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥时，在实数范围内有意义．变式题2

3、：①.当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？解：依题意得：，∴当x>-且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义。②.若+有意义，则=_______。③.使式子有意义的未知数x有（）个。例3.①.已知y=++5，求的值．(答案:)②.若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:2)③.已知+=0，求xy的值．（答案:81）例4.计算1．（）22．（3）23．（）24．（）2分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．解：（）2=，（3）2=32·（）2=32·5=45，（）2=，（）2=．例5.计算1．（）2（x≥0）2．（）23．（）24．（）2分析：（1）因为x≥0，所以x

4、+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）2≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>0（）2=x+1（2）∵a2≥0，∴（）2=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9变式题：计算1.（-3）22.例6.在实数范围内分解下列因式:

5、（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3例7.化简（1）（2）（3）（4）分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）去化简。解：（1）==3（2）==4（3）==5（4）==3例8.填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．（1）若=a，则a可以是什么数？（2）若=-a，则a可以是什么数？（3）>a，则a可以是什么数？分析：∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．（

6、1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1）因为=a，所以a≥0；（2）因为=-a，所以a≤0；（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0例9.当x>2，化简-．例10．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

7、变式题1．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）变式题2．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。（答案：10-x)例11．计算（1）×（2）×（3）×（4）×分析：直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．解：（1）×=（2）×==（3）×==9（4）×==例12.化简（1）（2）（3）（4）（5）分析：利用=·（a≥0，b≥0）直接