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1、第三讲解析函数的充要条件初等函数1.解析函数的充要条件2.举例§2.2解析函数的充要条件如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析。本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题如何判断函数的解析性呢？一.解析函数的充要条件记忆定义方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定
2、义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有证明（由f(z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）。∵函数w=f(z)点z可导，即则f(z+Δz)-f(z)=f(z)Δz+(Δz)Δz(1),且Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δ
3、y)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f(z)=a+ib，(Δz)=1+i2故（1）式可写为因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足C-R方程f(z)在点z=x+iy处可导）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且
4、满足Cauchy-Riemann方程由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.利用该定理可以判断那些函数是不可导的.使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，ii)验证C-R条件.iii)求导数：前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.二.举例例1判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(1)设z=x+iyw=x-iyu=x,v=-y则解(2)∵f(z)=
5、ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny仅在点z=0处满足C-R条件，故解(3)设z=x+iyw=x2+y2u=x2+y2,v=0则例2求证函数证明由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：故函数w=f(z)在z≠0处解析，其导数为例3证明例4如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函数，且f(z)≠0，那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里C1、C2常数.那么在曲线的交点处，i)uy、vy均不为零时，由隐函数求
6、导法则知曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为解利用C-R方程ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交.ii)uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞，k2=0（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的,它们仍互相正交。练习:a=2,b=-1,c=-1,d=21.指数函数2.三角函数和双曲函数3.对数函数4.乘幂与幂函数5.反三角函数与反双曲函数§2.3初等函数本节将实变函数的一些常
7、用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。内容简介一.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义这个性质是实变指数函数所没有的。例1例2例3二.三角函数和双曲函数推广到复变数情形定义正弦与余弦函数的性质思考题由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义(详见P51)定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质三.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数的定义故特别(2)对数函数的性质见§1-6例1例4四.乘幂与幂函数乘幂ab定义—多值—一般为多
8、值—q支(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a的n次根意义一致。(1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a的n次幂意义一致。解例5幂函数zb定义①当b=n(正整数)w=zn在整个复平面上是单值解析函数除去b为正整数外，多值函数，当b为无理数或复数时，无穷多值。5.反三角函数与反双曲函数详见P52重点：指数函数、对数函数、乘幂．作业P672,8,15,18
