数学物理方程课后参考答案第二章.pdf

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1、t2t2uuMCux,y,z,tux,y,z,tdxdydzCdtdvCdvdt第二章热传导方程121ttt1t1两者应该相等，由奥、高公式得：§1热传导方程及其定解问题的提1.一均匀细杆直径为l，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热t2t2交换，服从于规律uuuuMDDDdvdtM1CdvdtdQk1(uu1)dsdtt1xxyyzzt1t又假设杆的密度为

2、，比热为c，热传导系数为k，试导出此时温度u满足的方程。其中C叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形C1。由于,t,t的任意性即得方程：122luuuu解：引坐标系：以杆的对称轴为x轴，此时杆为温度uu(x,t)。记杆的截面面积为S。CDDD4txxyyzz由假设，在任意时刻t到tt内流入截面坐标为x到xx一小段细杆的热量为3.砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的uu2u水化热成正比。以Qt表示它在单位体积中所储

3、的热量，Q为初始时刻所储的热量，则dQ1kxxstkxstk2xsxt0xxxdQQ，其中为常数。又假设砼的比热为c，密度为，热传导系数为k，求它在浇后温杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t到tt在截面为dtx到xx一小段中产生的热量为度u满足的方程。4k1dQdQ2k1uu1lxtuu1sxt解：可将水化热视为一热源。由Q及QQ得QtQet。由假设，放lt000dt又在时刻t到tt在截面为x到xx这一小段内由于温度

4、变化所需的热量为热速度为uQetdQ3cux,ttux,tsxctsxt0t它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得由热量守恒原理得：2222u2uuuQ0t2kuu4k1a222eactsxtk2xsxtuu1sxttxyzcctxl4.设一均匀的导线处在周围为常数温度u的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满0消去sxt，再令x0，t0得精确的关系：足微分方程u2

5、u4k1uk2ukP0.24i2rckuu11tx2luu02tcxccuk2u4k2u4k或1uua21uu其中i及r分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，表示横截面面积，而k表tc2cl12cl1xx示导线对于介质的热交换系数。2k解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为其中a2cu2uafx,t2.试直接推导扩散过程所满足的微分方程。tx2解：在扩散介质中任取一闭曲面s，其包

6、围的区域为，则从时刻t1到t2流入此闭曲面的溶2k其中a,fx,tFx,t/c,Fx,t为单位体积单位时间所产生的热量。uc质，由dMDdsdt，其中D为扩散系数，得n22rt由常电流i所产生的F1x,t为0.24ir/。因为单位长度的电阻为，因此电流i作功为2uMDdsdtrni2ts1浓度由u变到u2所需之溶质为2乘上功热当量得单位长度产生的热量为0.24ir/其中0.24为功热当量。262222因此单位体积时间所产生的热量为0.24ir/a(2n1)t由常温度的热交换所产生的(视为“

7、被动”的热源)，从本节第一题看出为对应Ｔ为Tn(t)Cne4224k1a(2n1)tuu042n1l因此得u(x,t)Cnesinx2n02pl4其中l为细杆直径，故有l/，代入得2n14l由初始值得f(x)Cnsinxk1pn02F2x,tuu022n1u2u因此Cnf(x)sinxdx22因热源可迭加，故有Fx,tF1x,tF2x,t。将所得代入a2fx,t即得所求：0tx22a(2n1)t2222n12n1ukuk1P0.24

8、ir故解为u(x,t)f()sinde4sinx2uu0222tcxccn00