高中数学《直接证明与间接证明》课件2 新人教A版选修2-2.ppt

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1、人教A版高中数学选修2-2多媒体课件综合法和分析法通过前面的学习我们直到，合情推理多得出的结论我们需要加以证明，这正是数学区别于其他科学的显著特点。数学结论的正确性必须通过演绎推理(逻辑推理)的方式加以证明，本节我们来看一种基础的证明方法直接证明1.直接证明：直接证明包括两种最基本证明方法——综合法与分析法综合法(syntheticalmethed)：所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法综合法的可概括为下面形式：PQ1Q2Q3Q1Q2QnQ例1已知a,b,>0,求证：

2、a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc证明：∵b2+c2≥2bc,a>0∴a(b2+c2)≥2abc同理,∵c2+a2≥2ac,b>0∴b(a2+c2)≥2abc∴a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc练习1:已知AD是∠BAC的平分线,DE∥CA,且交AB于E(如图).求证：DE=AE分析：综合法是由因导果,立足于寻找已知条件合适的必要条件,适宜于表述321EACBDFAD平分∠BACDE∥CA已知∠1=∠2∠2=∠3已知1∠1=∠3已知2DE=AE结论例2在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a,b,c,

3、且A,B,D成等差数列,a、b、c成等比数列.求证：△ABC为等边三角形.ABC练习如图所示,△ABC在平面外,AB∩＝P,BC∩＝Q,AC∩=R,求证：P、Q、R三点共线分析：P、Q、R∈，P、Q、R∈平面ABC则P、Q、R是两平面的交线你会证明吗？在解决实际问题时，经常要先作语言的变换文字语言图形语言符号语言然后在仔细分析题目的隐含条件，将隐含条件表示出来分析法(analyticalmethed)：是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．QP1P2P3P1P2得到一个

4、明显成立的条件练习1:已知AD是∠BAC的平分线,DE∥CA,且交AB于E(如图).求证：DE=AE321EACBDF分析：AD平分∠BACDE∥CA只需证∠1=∠2∠2=∠3只需证∠1=∠3只需证DE=AE要证例3如图所示：SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F.求证：AF⊥SC分析：本题条件较多，而且垂直关系较多，我们不容易发现如何使用这些垂直条件，因此利用综合法比较困难，我们采用分析法，证明：要证：AF⊥SC只需证：SC⊥平面AEF只需证：AE⊥SC()只需证：AE⊥平面SB

5、C()只需证：AE⊥BC只需证：BC⊥平面SAB只需证：BC⊥SA（)由SA⊥平面ABC可知上式成立∴AF⊥SCSC⊥平面AEFAE⊥平面SBCBC⊥平面SAB练习设a,b,c为一个三角形的三边，s=(a+b+c)/2,且s2=2ab.求证：s<2as<2as=(a+b+c)/2b+c<3as2=2abb

6、用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述．2.实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综合孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它说明分析：证明式中没有,因此我们要将消掉,如何消掉？而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切,因此我们要弦化切1.综合法：∵(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1∴(2sinα)2-2sin2β＝1∴4sin2α-2sin2β＝

7、1∴2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β即：2(cos2α－sin2α)cos2α+sin2αcos2β-sin2βcos2β+sin2β＝（二倍角公式）2.分析法：2(cos2α－sin2α)cos2α+sin2αcos2β-sin2βcos2β+sin2β＝要证：只要证：2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β只要证：只要证：4sin2α-2sin2β＝1(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1只要证：这是三角函数的基本性质∴综合法分析法特点由因索果由果索因条件充分条件不要条件格式P→Q1

8、→Q2→...→Qn→QQ←P1←P2←...←Pn←P关系解答个一般方式解法的探讨实际证题过程，分析与综合是统一运用的P→Q1→Q2→...→Qn→Q←Pn←...←P2←P1←P