由幂等元和可逆元生成的相关环的结构.pdf

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1、博博博士士士学学学位位位论论论文文文由幂等元和可逆元生成的相关环的结构STRUCTUREOFRINGSGENERATEDBYIDEMPOTENTSANDUNITS李李李春春春娜娜娜2012年年年9月月月国内图书分类号：O153.3学校代码：10213国际图书分类号：512密级：公开理理理学学学博博博士士士学学学位位位论论论文文文由幂等元和可逆元生成的相关环的结构博士研究生：李春娜导师：游宏教授副导师：周毅强教授申请学位：理学博士学科：基础数学所在单位：数学系答辩日期：2012年9月授予学位单位：哈尔滨工业大学ClassifiedIn

2、dex:O153.3U.D.C.:512DissertationfortheDoctoralDegreeinScienceSTRUCTUREOFRINGSGENERATEDBYIDEMPOTENTSANDUNITSCandidate:LiChunnaSupervisor:Prof.YouHongAssociateSupervisor:Prof.ZhouYiqiangAcademicDegreeAppliedfor:DoctorofScienceSpecialty:FundamentalMathematicsAliation:De

3、partmentofMathematicsDateofDefence:September,2012Degree-Conferring-Institution:HarbinInstituteofTechnology摘要摘要在环论中，研究环中幂等元和可逆元常常被作为研究环的重要手段。很多环正是根据其中元素与幂等元、可逆元的关系来确定其分类与命名的，例如布尔环、除环、clean环和2-good环等。如果一个环可由其幂等元和可逆元生成，这类环往往都具有很好的性质，并可广泛应用于其他领域，具有较高的研究价值。本文针对几类与幂等元、可逆元密切

4、相关的环进行了讨论，主要包括满足GM条件的环、clean环和左p:p:环。具体工作如下：首先，构造一个反例，说明有关半局部环GM条件的结论是有漏洞的，并进一步给出半局部环满足GM条件的充要条件。弥补结论“半局部环R满足GM条件当且仅当R没有同态像同构于Z2或Z3”的缺陷，修正了有关半局部环GM条件的结论。此外，鉴于与GM条件密切相关的两个条件，(P)条件和(Q)条件，的刻画潜在运用了GM条件的相关结论，本文对此提出了新的论证。这些工作既纠正了前人的结论，又完善了与GM条件相关的其他条件的研究，为GM理论的发展提供了坚实的理论基础。

5、其次，给出一个*-环是强*-clean环的刻画，并首次引入唯一强*-clean环的概念。提出并证明一个*-环是强*-clean环的充要条件。另外，回答了Vasˇ提出的两个公开问题，讨论一个*-环是唯一强*-clean环的等价条件，并对其环性质进行探讨。这些工作不仅丰富了强*-clean环的研究，还对相关理论的发展提供了有利的工具。最后，考虑到正则环上的矩阵环和上三角矩阵环都是左p:p:环，且矩阵环和上三角矩阵环是结构矩阵环的两种特殊情况，本文完整给出了正则环上的结构矩阵环是左p:p:环的等价条件。举例说明当环R是正则环时，其上的结

6、构矩阵环不一定是左p:p:环。受此启发，提出一个重要技术性引理，并反复应用该引理完全刻画在这种条件下结构矩阵环为左p:p:环的条件。此外对结构矩阵环上的其它性质也进行了讨论。这一工作的意义在于，虽然正则环上的某些结构矩阵环是左p:p:环，但这不是一般现象。文本在此给出了系统的刻画。本文对以上三类环的研究丰富了由幂等元和可逆元生成的环的理论。这些工作不仅在一定条件下对这三类环的结构有了完整的刻画，同时还解决了该理论中的一些公开问题，使这类环更为清楚地被认识，从而使由幂等元和可逆元生成的环有更广泛的应用。关键词：幂等元；可逆元；GM条

7、件；clean环；p:p:环–I–哈尔滨工业大学理学博士学位论文AbstractInringtheory,studyofidempotentsandunitsisveryimportant.Manyringsareclassifiedandnamedbytherelationsbetweenelementsinthemandtheiridempotentsandunits,suchasBooleanrings,divisionsrings,cleanringsand2-goodrings,etc.Ifaringcanbegenera

8、tedbyidempotentsandunits,thisringalwayshasniceproperties,whichalsocanbeappliedtomanyotherareas,andhenceofhighresearchvalue.T