衡中同卷 四调 理科数学（教师版）.doc

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1、2017~2018学年度上学期高三年级四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．已知集合，全集，则()A．B．C．D．1．答案：C解析：由，得，所以，由，得，全集，所以2．已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．答案：B解析：，所以，位于第二象限3．运行如图所示的程序，若输入的分别为：，则输出的值为()A．B．C．D．3．答案：C解析

2、：由程序框图可知，表示中大于等于的数目，所以，，所以4．已知数列的前项和为，且对于任意，满足，则的值为()A．91B．90C．55D．1004．答案：A解析：由可得，即，所以该数列从第二项起是一个公差为2的等差数列，所以5．某几何体的三视图如图所示，俯视图是半径为2的圆．则该几何体的表面积为()A．B．C．D．5．答案：B解析：该几何体为球的，半径为，表面积6．若关于的方程有解，则实数的最小值为()A．4B．6C．8D．26．答案：B解析：由，可得，当且仅当，即时等号成立，所以实数的最小值为67．如图

3、，在中，，过点的直线分别交射线于不同的两点，若，则的最小值为()A．B．C．6D．27．答案：D解析：，又因为三点共线，所以可设，其中，则，于是，所以，，设，则，且，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，所以8．若存在正实数满足且，则的取值范围为()A．B．C．D．8．答案：B解析：因为，所以，设，则，由，得，，设，则当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取得最小值，又因为，，，所以，故的取值范围是．9．正四面体中，是棱的中点，点是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为()A．B．C．

4、D．9．答案：B解析一：如图，以为坐标原点，所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为2，则，则，，，异面直线与所成角为，则解法二：设正方体的棱长为2，则，点在上，所以10．已知函数，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．10．答案：D解析：设，则，所以函数是奇函数，显然函数也是一个增函数．由可得，即，所以11．若所在平面与矩形所在平面互相垂直，．若点都在同一个球面上，则此球的表面积为()A．B．C．D．11．答案：B解析：是一个正三角形，所以是正方形，可将该图形还原成一个正三棱柱，

5、则球心为两正三角形中心连线的中点，如图，，则，所以外接球的表面积．12．已知函数，关于的方程有四个相异的实根，则实数的取值范围是()A．B．C．D．12．答案：C解析：，当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减．所以当时，取得极小值0，当时，取得极大值，当时，，当时，，函数的图象如图所示，设，则，当，时满足题意，所以，解得．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若，则．13．答案：251解析：设，则，所以，展开式中含的项为．14．已知函数的最大值为，若存

6、在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为．14．答案：解析：，故，由题可知，为函数的极小值点和极大值点，故，故的最小值为15．设实数满足约束条件，则的最大值为．15．答案：5解析：由可得，所以，即，，由作可行域如图所示，由，得，作直线并平移，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，的最大值为5．16．若是互不重合的直线，是互不重合的平面，给出下列命题：①若，则或；②若，则；③若不垂直，则不可能垂直于内的无数条直线；④若，则且；⑤若，且，则．其中正确的命题是______________．（填序号）16．

7、答案：②④⑤解析：①如图，在正方体中，记平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，显然与均不垂直，错误②面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．正确；③当直线或与相交但不垂直，或时，在都可以找到无数条平行线，与垂直，错误；④，同理可证，；⑤如果三个平面两两垂直，则它们的交线也两两垂直，正确．三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考试根据要求作答）（一）必考题：共60分

8、．17．（本小题满分12分）已知在中，角所对的边分别是．且，其中是的面积，．(1)求的值；(2)若，求的值．17．解：（1）由，得，化简得：，结合及，可得，所以……………………（6分）（2）．①由（1）得，所以．由正弦定理，得②联立①②可得，则，所以．18．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且．(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式．(2)设数列前项和为，是否存在正整数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．18