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时间:2020-03-09
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1、坐标系1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标①极径:设M是平面内一点,极点O与点M的距离
2、OM
3、叫做点M的极径,记为ρ.②极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做
4、点M的极角,记为θ.③极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ). 一般不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.3.极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:1.若点P的直角坐标为(3,-),则点P的极坐标为______.2.圆ρ=5cosθ-5sinθ的圆心的极坐标为________.3.在极坐标系中A,B两点间的距离为________.4.在极坐标系中,圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=(θ∈R)的距离是________. 5[考什么·怎么考]1.
5、求椭圆+y2=1经过伸缩变换后的曲线方程.2.求双曲线C:x2-=1经过φ:变换后所得曲线C′的焦点坐标.3.将圆x2+y2=1变换为椭圆+=1的一个伸缩变换公式为φ:求a,b的值. [典题领悟]在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsin=(ρ≥0,0≤θ<2π).(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.[冲关演练]1、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化.①y2=4x; ②θ=(ρ∈R); ③ρ=.2、在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立
6、极坐标系.已知点A的极坐标为,直线的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线上,求a的值及直线的直角坐标方程.3、圆心C的极坐标为,且圆C经过极点.(1)求圆C的极坐标方程;5(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.4、已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. [典题领悟]1、在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为为参数),M为上的动点,P点满足,点P的轨迹为曲线.(I)求的方程;(II)在以O为极点,x
7、轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为A,与的异于极点的交点为B,求
8、AB
9、.2、(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足
10、OM
11、·
12、OP
13、=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.[冲关演练]51、在直角坐标系中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:,C3:。(1
14、)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求
15、AB
16、的最大值。2、在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数)。以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。(1)求圆C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+cosθ)=3,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长。3、(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若
17、直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.1.在极坐标系中,求直线ρcos=1与圆ρ=4sinθ的交点的极坐标.52.在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.3.设M,N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin=上的动点,求M,N的最小距离.4.(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程
18、;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.5.(201
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