2017春北师大版九年级数学下册练习：3.小专题(十一)　圆中常见辅助线的作法.doc

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1、小专题(十一)　圆中常见辅助线的作法类型1　有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用垂径定理和勾股定理解决问题．1．如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且AD＝BC，连接OC、OD.求证：△OCD是等腰三角形．[来源:学优高考网gkstk][来源:学优高考网]2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．[来源:gkstk.Com]类型2　构造直径所对的圆周角在解决有关直径的问题时，常通过构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算．3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O

2、的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是()A.B.C.D.4．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD.若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，则∠DCA的度数为____________度．5．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E.(1)求证：D为BC的中点；（2）过点O作OF⊥AC，交AC于点F，若AF＝，BC＝2，求⊙O的直径．[来源:学优高考网]类型3　有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径当所证问题含有切线时，常常需要连接过切点的半径，利用垂直关系来沟通题设与结论之

3、间的联系，使问题得以解决．6．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD.若∠A＝25°，则∠C的度数．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K.求证：KE＝GE.类型4　“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．8．如图，O为正方形ABCD对角线

4、AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切．[来源:gkstk.Com]9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E.求证：DE是⊙O的切线．参考答案1．证明：过O作OE⊥AB于E，则AE＝BE，∵AD＝BC，∴AD－DC＝BC－DC.∴AC＝DB.∴CE＝DE.∵OE⊥CD，∴OC＝OD.∴△OCD是等腰三角形．2．过O作OF⊥CD于点F，连接OD.∴F为CD的中点，即CF＝DF.∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE＋E

5、B＝2＋6＝8.∴OA＝4.∴OE＝OA－AE＝4－2＝2.在Rt△OEF中，∠DEB＝30°.∴OF＝OE＝1.在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4.根据勾股定理，得DF＝＝，则CD＝2DF＝2.3．A　4.405．(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴点D是BC的中点．(2)∵OF⊥AC于F，AF＝，∴AE＝2AF＝.连接BE.∵AB为直径，D、E在圆上，∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEA＝∠BEC＝90°.∴在△BEC、△ADC中，∠BEC＝∠ADC，∠C＝∠C.∴△BEC∽△ADC，即CD∶CE＝AC∶BC.∵D为BC中点，∴CD＝

6、BC.又∵AC＝AB，∴BC2＝CE·AB.设AB＝x，可得x(x－)＝2，解得x1＝－(舍去)，x2＝4.∴⊙O的直径为4.6．连接OD.∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA＝25°.∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD＝50°.∴∠C＝90°－50°＝40°.7．证明：连接OG.∵FE切⊙O于G，∴∠OGE＝90°，∠OGA＋∠AGE＝90°.∵CD⊥AB，∴∠OAK＋∠AKH＝90°.又∵∠AKH＝∠GKE，∴∠OAK＋∠GKE＝90°.∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠OAG.∴∠KGE＝∠GKE.∴KE＝GE.8．证明：连接OM，过点O作O

7、N⊥CD，垂足为N.∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC.∵在正方形ABCD中，AC平分∠BCD，又∵ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON.∴N在⊙O上．∴CD与⊙O相切．9．证明：连接OC.∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，∴AD⊥AB.∴∠DAB＝90°.∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB，∠AOD＝∠ABC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC.∴∠DOC＝∠AOD.在△COD和△AOD中，，∴△COD≌△AOD.∴∠OCD＝∠DAB＝90°.∴OC⊥DE于点C.∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．