高中数学 223《向量数乘运算及其几何意义》导学案 新人教A版必修4.doc

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1、2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案【学习目标】1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽彖的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。.【重点难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。【学法指导】通过对比物理屮的一些向量与数量Z间的运算关系，

2、引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。【知识链接】引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式屮体现。如力与加速度的关系亍二ma,位移与速度的关系vt这些公式部是实数与向量间的关系。师：我们已经学习了向量的加法,请同学们作出2+a^a和(・a)+(-刁+(-方)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，(板书课题：实数与向量的乘积)【学习

3、过程】1、探索研究1)定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？(可结合教材思考)可根据•小学算术中3+3+3+3+3=35的解释,类比规定:实数2与向量2的积就是久方,它还是一个向量，但要对实数2与向量方相乘的含义作一蒂解释才行。实数八与向量方的积是一个向量，记作站.它的长度和方向规定如下：(1):.(2).2)运算律：问：求作向量2(37)和6方(方为非零向量)并进行比较，向量2(2+初与向量力+2厶相等吗？(引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较)生：•师：设方、乙为任

4、意向量，2、“为任意实数，贝ij有：(1)(2+=肋+“Q；(2)久(“a)=(2“d)；(3)A(a+b)=Xa+通常将(2)称为结合律，(1)(3)称为分配律。小练习1:计算：(1)(-3)；(2)3(/7+6)-2(/7-^)-a；(1)(2a+3h-c)-(3a-2b+c).3)向量平行的充要条件:请同学们观察tn-n乙=・2zw+2n,0答q、乙有何关系?生：:引导:若方、&是平行向量,能否得出牙=跖？为什么？可得出方=胭吗？为什么?生：•师：由此可得向最平行的充要条件：向量A与非零向量方平

5、行的充要条件是有且仅有一个实数2,使得方=加.对此定理的证明，是两层來说明的:其一，若存在实数2,使久方，则由实数与向量乘积定义屮第⑵条可知處与7平行.，即人与2平行.—0其二，若忌与2平行，且不妨令R6,设也二〃(这是实数概念).接下来看方、A方向如何:®ci、b同向，则E=pa，②若a、h反向，则记A=-pa，总而肓乙存在实数2(A=//或2=■”)小练习2：如图:已知AD=3AB,DE=35C,试判断疋与五是否平行・解:AE=AD+DE=3AB+3BC=3(AB+BC)=3AC:.AE与疋平行.

6、4)单位向量：单位向量:模为1的向量.向最a(a16)的单位向量：与a同方向的单位向量，记作q.A思考:q如何用a来表示?2.例题与练习：题1：如图，在MBC«P，D是力3的中点，E是3C延长线上的点，且BE=2BC,是根据下列要求表示向量反：(1)用B4、BC表示；(2)用C4、初表示./3^—C题1E题2：如图，在MBC屮，已知M、N分别是4B、/C的屮点，用向量方法证明：MN^BC3：如图，已知04=kOAx,OB=kOB,,OC=kOC.,求证：MBCsgg练习:P1451、2、3、4【学习反

7、思】(1)2与方的积还是向量•，2方与方是共线的;（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。1.作业布置：练习部分P88-89习题3A组2、3、4、5.P89习题3B组2、3.【拓展提升】设a、了是两个不共线向量，已知AB=2a+mb,CB=3b,若/、BC三点共线，求刃的值。