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1、试论常微分方程的奇解摘要：一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解，另外可能还有个别不含丁通解的特解,即奇解，利用P■判别法和c・判别法可以求出奇解，而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了儿个例子来说明这个问题•并给出另外三种求奇解的方法.关键词：一阶微分方程，奇解,P■判别式，。判别式,C・P消去法，拾遗法，自然法.DiscussingSingularSolutionaboutFirstOrderDifferentialEquationZHUYong-wang(Class1,Grade2006,CollegeofMathema
2、ticsandInformationScience)Advisor:ProfessorLIJian-minAbstract:Firstorderdifferentialequationhasageneralsolutionwhichcontainsanarbitraryconstant,butsometimesithasspecialsolutionthatissingularsolution,whichcanbesolvedbythePJudgmentmethodandC-judgmentmethod.Whilewhetherthetwojudgm
3、entscanbeappliedtogeteverysingularsolutiontothefirstorderdifferentialequation?Thispaperintendstoillustratethisproblemwithseveralexamples-Keywords:Singularsolution,P-judgment,C-judgment,C-Peliminationmethod,Thesupplementmethod,Naturalmethod.1.引言一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特
4、解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象•它在儿何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解•克莱络和欧拉对奇解作了某些讨论，得出了P—判别式求奇解的方法.拉格朗口对奇解和通解的联系作了系统的研究，给出c—判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一儿何解释.2.奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出近儿年许多学者对常微分方程这方面特别关注，在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表，由此可见，人
5、们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定义:微分方程的某一个解称为奇解，如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在，也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.包络的定义：设在平面上有一条连续可微的曲线V•在曲线族V(x,.y,C)=0屮都有一条曲线K(Cj通过q点并在该点与厂相切，而且K(C")在q点的某一邻域内不同与「，则称曲线「为曲线族V(x,y,C)=0的一支包络.从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通
6、解的包络(如果它存在的话)一定是奇解;反Z,微分方程的奇解(若存在的话)也是微分方程的通解的包络•因而，为了求微分方程的奇解，可以先求出它的通解,然后求通解的包络.对于一阶微分方程，如呆此方程有除了通解Z外的奇解,则此奇解一定满足两个判别式，即P—判别式和C一判别式.定理1［，］:设函数F(x,y,p)对(x,y,p)eG是连续的，而且对y和p有连续的偏微商F'y和Fp，若函数y=0(x)(xeJ)是微分方程)=0的一个奇解，并且(x・0(x).0(x))wG(xeJ)则奇解y=0(x)满足一个称Z为P■判别式的联立方程F(x,y,p)=O,F'p(
7、x,y,p)=O其中p=y.定理2川：设微分方程F(x,y,y)=0有通积分V(x,y,c)=0乂设积分曲线V(x,y,c)=0有包络为y二以x)(xeJ)贝U奇解y=^(x)满足C—判别式的联立方程V(x,y,c)=O,V；(x,y,c)=O.以上两个定理是奇解的必要条件，也就是说用C—判别式和P—判别式求出的解不一定是微分方程的解，如果是微分方程的解也不一定是奇解，但是在求一•阶微分方程的奇解时通常都会采用这两个判别式•由［1］中奇解部分的定理2和定理5知，只要求解是微分方程的解，用P—判别式求岀的解满足：(兀,”p)hO用c・判别式求出的解满足
8、非蜕化条件：@(C)“(C))珂0,0)U(o,o)'则此解就是奇解，既然c—判别式和P—判别式是求奇解的方
