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1、让学生学会数学化思考吴建斐21世纪的世界，唯一不变的就是变化。人们随时吸收新思维，适应新变革，解决非传统的问题。正是这种需求,使数学索养成为21世纪成功者必备的索质。在美国，数学教育的文件《人人有份》指出：“从来没有像现在这样，美国人需要为生存而思考，从来没有象现在这样，人们需要数学式的思维。”在我国，新的数学课程标准研制小组指出：“公民的数学修养，最为主要的标志是看他如何理解数学的价值，以及能否运用数学的思维方式去观察、分析日常生活现象，去解决对能遇到的现实问题。”让学生学会数学化思考，己成为数学教育的一个主要目标。数学化思考，或者称为数学化的思维，是指在具体的情景中抽象出事物的本质，
2、概括出事物的共同特征和规律，即抽象概念、建立数学模型。数学化思维也包括对数学模型进行分析推理。正如弗兰登塔尔（HFreudenthal）指出的：“横向数学化把生活世界引向符号世界,在生活世界里，人们生活、活动，同时受苦受难。在符号时间里，符号生成、重槊和被使用,而且是机械的、全而的、互相响应的。这就是纵向数学化个人年收入（千）4909191年份K3数学化什么？数学化总是数学化某东西——现实的片断。数学化首先是将现实数学化,将现实的某些片断数学化。通常基础数学教育总是太形式，总是太倾向于纵向的数学化，在数学符号世界里“深化改革”，然而，如果缺乏从背景中进行数学化的能力，那么数学化就是无本之
3、木、无源之水。有待数学化的现实，有接近数学的现实与接近现实的现实。从小学到高屮，文字题一直是贯彻始终的一个重要内容，也一直是学生学习的难点。文字题呈现了有待数学化的现实。例如，香港屮学教材屮的一个例子：“公说公有理，婆说婆有理。”设某工厂有5个股东，100个工人。工厂的股东利润和工资总额为年度工资总额股东的总利润1990年10万5万1991年12.5万7・5万1992年15万10万试用以上数据画出不同的图表。解（1）股东总利润与工资总额平行增长，如图1。（2）股东利润增长比例高于工人工资增长，如图2。（3）股东平均获利远高于工人的平均工资，如图3。这就是一个很好的将现实数学化的例子，可惜
4、这样的例子不1。常见。在现行的数学教材屮，大多数问题的背景都是接近数学的现实，愈接近数学，背景的干扰就愈少。这其实不利于学生数学:化思维的培养，世界原本就是纷繁芜杂的，在干扰屮探求本质就是创造。有一道著名的测验题：“一•条船上，有75头牛，34头羊，问船长儿岁？”屮外学生多数做出了答案，这是很说明问题的。由于我们的数学题结构相似，许多题目是同构的，结果假同构白然泛滥了。常提一些非常规、非同构的问题，有利于数学化思维的形成，如“用微波炉烤半只鸡需10分钟，那么烧一只鸡需多少时间？”“一卖肉屠夫现有10公斤肉，乂订购了10公斤，到肉送到时，他有儿公斤肉？”让学生从形式化的数学冋归到现实的数学
5、也是必要的，基尔巴屈克(JKilpatrick)列举了一组很有意思的题目。712(1)已知——,问兀是多少？25x(2)图4图5(2)如果一杯7盎斯的汽水卖25美分，问一•杯12盎斯的汽水卖多少钱？(3)三个学生正在筹办一次野餐，他们了解到一•杯7盎斯的汽水通常卖25美分，现在他们想知道一杯12一盎斯的汽水应该收多少钱？(4)如果一杯7盎斯的汽水卖25美分，则照比例计算，一杯12盎斯人林的汽水价格不刚好为整数，一个解决的方式是把-杯7盎斯的汽水价格指高一些，使得照比例算出來的一杯12盎斯的汽水价格为整数，请你提出解决的方案，在各种可能的解决方案中，指高的最少数目是多少？让学生学会数学化思
6、考，过分灌输算法与图式是不利的。数学的思维有复现式思维与创造性思维,许多程式化的算法属复现式思维，过分的训练会导致思维定势。约束对源于情景的问题的处理，钳制思维的发散。数学中时常点缀“叛经离道”的问题，对打破思维定势是有十分重要的意义的。例如，在一元二次方程dx'+bx+f=0(。工0),似乎只有—•个传—b+Qb，—4cic统的求根公式：x=、——(1)2a°—b+J//?—4ac但如先考虑解八加+心0,则根为X—⑵比较(1),(2)的两根，可先求解〒+加+"=0,然而将此两根除以a即得原方程的两根，在较多情况下，解方程兀2+bx+dc=0总比解ar2+bx+c=0容易些，因而也有简便
7、之处。如解方程：3兀2-16无+5=0,为解原方程，可先解x2-16x+15=0,很容易解岀x2-16x+15=(x-15)(%-1)=0,可得两根15,1,所以原方程的两根为5,―。第二种思路，考虑把方程ax2+bx+c=Q3的一次项系数写成2b,则原方程化为o?+2〃x+c=0,可得求根公式(3)-b±X—在计算（3）上比（1）简便一些，如解方程x2-12x-65=0,若用公式（1）会出现7^4^=71444,较难计算，但女口写
