三角形中的角平分线 (2).ppt

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1、第四节角平分线(二)信宜市洪冠中学陈柏旺第一章三角形的证明放开手脚做一做如图，我校园内有一块有三条路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供师生小憩，使小亭中心到三条路的距离相等，请你确定小亭中心的位置。（不写作法，保留作图痕迹）用心想一想，马到功成DEFMNCBAP例2求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别是D,E,F。求证：∠BAC的角平分线经过点P,且PD=PE=PF。证

2、明：∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上，且PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分别为D,E.∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）同理：PE=PF．∴PD=PE=PF．∴点P在∠BAC的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）即∠BAC的平分线经过点P。定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．三角形角平分线的性质定理比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角

3、三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等开拓创新试一试1、如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（　　）A、OD＞OEB、OD＜OEC、OD=OED、不能确定２、通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的.如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，求△ABC的面积。第一题图第二题图[例3]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=

4、90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．用心想一想，马到功成DABEC(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB∴DE=CD=4cm∵AC=BC∴∠B=∠BAC(等边对等角)∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°=45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE中(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=(4+)cm．[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，A

5、D是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．用心想一想，马到功成DABEC(2)证明：由(1)的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．课堂小结,畅谈收获：本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等。并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题。课内拓展延伸如图，△AB

6、C中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.CBAEDO