数学人教版八年级下册平行四边形的判定.ppt

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1、【义务教育教科书人教版八年级下册】18.1.2平行四边形的判定（1）（1）平行四边形的对边平行.（3）平行四边形的对角相等.温故知新平行四边形的性质（2）平行四边形的对边相等.（4）平行四边形的邻角互补.（5）平行四边形的对角线互相平分.1.边：2.角：3.对角线：通过前面的学习，我们知道，平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分。那么反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？逆向思维已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形。ABCD1234分析：要证明一四边形是平行四边形，到目前为

2、止，我们只学习了平行四边形的定义，即需要证明该四边形两组对边分别平行。如何证明两组对边分别平行呢？自主探究由题意知通过三角形全等可得到相等的内错角，即可得到两组对边分别平行。1.求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。ABCD1234证明：连结AC，在△ABC和△CDA中,AB=CD(已知)BC=DA(已知)AC=CA(公共边)∴△ABC≌△CDA(SSS)∴∠1=∠4,∠2=∠3∴AB∥CD,AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形。由上述证明可以得到平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。当一个四边形对角分别相等，这个四边形是平

3、行四边形吗？当一个四边形对角线互相平分，这个四边形是平行四边形吗？类似地，思考下列问题：已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D。求证：四边形ABCD是平行四边形。ABCD证明：又∵∠A=∠C，∠B=∠D∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600∴2∠A+2∠B=3600即∠A+∠B=1800∴AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形。同理得AB∥CD2.求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。梳理平行四边形的判定方法：判定1定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。判定3两组对角分别相等的四边形是平行四边形。判定4两条对角线互相平分的四边形是平行四边

4、形。判定2两组对边分别相等的四边形是平行四边形。已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD。求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：ABCDO对顶角相等.在△AOB和△COD中,OA=OC(已知)OB=OD(已知)∠AOB=∠COD(对顶角相等)∴△AOB≌△COD(SAS)∴∠BAO=∠OCD,∠ABO=∠CDO∴AB∥CD,AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形。3.求证：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。还有其他方法吗？ABCDO②∵AB=DCAD=BC①∵AB∥DCAD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形④∵∠ABC=∠ADC∠BAD=∠

5、BCD③∵OA=OCOB=OD几何语言描述判定（应用格式）：∴四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是平行四边形要证四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的定义可证得DF∥BE，因此可采用判定方法一即定义法证明DE∥FB即可．例1如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，交CB的延长线于点E，BF平分∠ABC，交AD的延长线于点F.求证：四边形BFDE是平行四边形．导引：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB.∴DF∥BE.∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠

6、3＝∠4.∵AD∥BC，∴∠1＝∠E.∴∠E＝∠3.∴DE∥FB.∴四边形BFDE是平行四边形．(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)证明：例2如图，分别以△ABC的三边为一边，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF.求证：四边形ADEF是平行四边形．由等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证明四边形ADEF的两组对边分别相等，最后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定．导引：∵△ABD、△BCE、△ACF都为等边三角形，∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，AC＝AF，∠DBA

7、＝60°，∠EBC＝60°.∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA，∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC.又∵AC＝AF，∴AF＝DE.同理可证：△ABC≌△FEC，∴AB＝FE，∴FE＝AD，∴四边形ADEF是平行四边形．证明：例3如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？利用平行四边形对角相等的性质可得∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C，然后再依据角平分线的定义和三角形外角的性质证出四边形BFDE的两组对角分别相等，于是可得出结论．

8、导引：四边形BFDE是平行四边形．理由：在▱ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠A