考研数学二真题2011年.doc

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1、.word格式,2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：下列每题给出的四个选项中。只有一个选项符合题目要求．(1)已知当x→0时f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则()．(A)k=1，c=4(B)k=1，c=-4(C)k=3，c=4(D)k=3，c=-4(2)已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0．则=()．(A)-2f'(0)(B)-f'(0)(C)f'(0)(D)0(3)函数f(x)=ln

2、(x-1)(x-2)(x-3)

3、的驻点个数为()．(A)0(B)1(C)2(D)3(4)微分方程y"-λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解

4、形式为()．(A)a(eλx+e-λx)(B)ax(eλx+e-λx)(C)x(aeλx+be-λx)(D)x2(aeλx+be-λx)(5)设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0．则函数Z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是()．(A)f"(0)＜0，g"(0)＞0(B)f"(0)＜0，g"(0)＜0(C)f"(0)＞0，g"(0)＞0(D)f"(0)＞0，g"(0)＜0(6)设．则I，J，K的大小关系是()．(A)I＜J＜K(B)I＜K＜J(C)J＜I＜K(D)K＜J＜I(7)设A为三

5、阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B．再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记，则A=()．(A)P1P2(B),专业.专注..word格式,(C)P2P1(D)(8)设A=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1，0，1，0)是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为()．(A)α1，α3(B)α1，α2(C)α1，α2，α3(D)α2，α3，α4二、填空题(9)=______．(10)微分方程y'+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．(11)曲线的弧长s=______．(12)设函数则=______．(13

6、)设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所组成，则二重积分=______．(14)二次型f(x1，x2，x3)=，则f的正惯性指数为______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)已知函数．设，试求α的取值范围．(16)设函数y=y(x)由参数方程确定，求y=y(x)的极值和曲线y=y(x)，的凹凸区间及拐点．(17)设函数Z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1，求(18)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α为曲线l在点(x，y)外

7、切线的倾角，若．求y(x)的表达式．,专业.专注..word格式,(19)①证明：对任意的正整数n，都有成立．②设(n=1，2，…)，证明数列{an)收敛．(20)一容器的内侧是由图中曲线y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2y(y≥)与x2+y2=1(y≤)连接而成．(Ⅰ)求容器的容积；(Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m．重力加速度为gm/s2，水的密度为103kg/m3)．(21)已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，．其中D={(x，y)}0≤x≤1，0≤y≤1)，计算二重积分(2

8、2)设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T，不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．(23)设A为三阶实矩阵，A的秩为2，且(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵A．,专业.专注..word格式,2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题(1)[考点]无穷量的比较[答案解析]因为，所以f(x)=4x3+o(x3)～4x3，于是c=4，k=3，故选(C)．(2)[考点]导数的定义[答案解析]，故选(B

9、)．(3)[考点]确定f'(x)的零点个数[答案解析]求出f'(x)：由判别式122-4×3×11=12＞0，3x2-12x+11有两个零点(不是x=1，x=2，x=3)，因此f(x)有两个驻点．故选(C)．(4)[考点]微分方程的求解[答案解析]原方程对应的齐次方程的特征方程y2-λ2=0，解得y1=λy2=-λ，则y"-λ2y=eλx的特解y1=xeλxC1y"-λ2y=eλx的特解y2=xe-λxC2故原方程的特解y=x(C1eλx+C2e-λx)故选(C)．(5)[考点]利用导数求函数的极值[答