定积分讲义-.doc

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1、第六章定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分．本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体．最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分．§6.1定积分的概念与性质1.定积分的定义我们先来研究两个实际问题．例1计算曲边梯形的面积设为闭区间上的连续函数，且．由曲线，直线及轴所围成的平面图形(图6—1)称为在上的曲边梯形，试求这曲边梯形的面积．图6—1我们先来分析计算会遇到的困难．由于曲边梯形的高是

2、随而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积．但我们可以用平行于轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图6—1所示．在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值．容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法．下面我们分三步进行具体讨论：(1)分割在中任意插入个分点把分成个子区间，，…，，每个子区间的长度为．(2)近似求和在每个子区间上任取一点，作和式(1.1)(3)取极限当上述分割

3、越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A)．因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有．例2求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，其速度是时间的连续函数．试求该物体从时刻到时刻一段时间内所经过的路程．因为是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程．但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题．(1)用分点把时间区间任意分成个子区间(图6—2)：，，…，．每个子区间的长度为()．图6—2(2)在每个子区间()上任取一点，作和式．(3)当分点的个数无限地增加，最长的子区间

4、的长度趋于零时就有．以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念．定义6.1.1设函数在上有定义，在内任取个分点把分成个子区间，，…，，每个子区间的长度为．在每个子区间上任取一点(称为介点)，作和式，并记．如果不论对怎样划分

5、成子区间，也不论在子区间上怎样取介点，只要当时，和式(1.1)总趋于确定的值，则称这极限值为函数在区间上的定积分，记作，即(1.2)其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分的下限和上限．关于定积分的定义，再强调说明几点：(1)区间划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或的大小来确定．因为尽管很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小．所以在求和式的极限时，必须要求最长的子区间的长度，这时必然有．(2)定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数极限．尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断

6、变化着，但当时却都以唯一确定的值为极限．只有这时，我们才说定积分存在．(3)从定义可以推出定积分(1.2)存在的必要条件是被积函数在上有界．因为如果不然，当把任意划分成个子区间后，至少在其中某一个子区间上无界．于是适当选取介点，能使的绝对值任意地大，也就是能使和式(1.1)的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值．(4)由定义可知，当在区间上的定积分存在时，它的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，所以定积分的值不会因积分变量的改变而改变，即有．(5)我们仅对的情形定义了积分，为了今后使用方便，对与的情况作如下补充规定：当时，规定；当时，规

7、定．根据定积分的定义，我们说：例1中在上的曲边梯形的面积就是曲线的纵坐标从到的定积分．它就是定积分的几何意义．注意到若，则由及可知．这时曲边梯形位于轴的下方，我们就认为它的面积是负的．因此当在区间上的值有正有负时，定积分的值就是各个曲边梯形面积的代数和，如图6—3所示．图6—3例2中物体从时刻到时刻所经过的路程就是速度在时间区间上的定积分．对应于导数的力学意义，我们也说它是定积分的力学意义．当在区间上的定积分存在时，就称在上可积，说明(3)表明：在上可积的必要条件是在上有界．下面是函数可积的两个充分条件，证明从略．定理6.1.1(1)若在上连续，则在上可

8、积．(2)若在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积．2.定积分的基本性质定理6