2020版高考数学一轮复习课后限时集训51曲线与方程理北师大版.docx

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1、课后限时集训(五十一)　曲线与方程(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是(　　)A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线B　[当a＞0且a≠1时，该方程表示椭圆；当a＜0时，该方程表示双曲线；当a＝1时，该方程表示圆．故选B．]2．已知点Q在椭圆C：＋＝1上，点P满足＝(＋)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为(　　)A．圆　　　　　　　B．抛物线C．双曲线D．椭圆D　[因为点P满足＝(＋)，所以点P是线段QF1的中点，设P

2、(x，y)，由于F1为椭圆C：＋＝1的左焦点，则F1(－，0)，故Q(2x＋，2y)，由点Q在椭圆C：＋＝1上，得点P的轨迹方程为＋＝1，故点P的轨迹为椭圆．故选D．]3．已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4xA　[设点P(x，y)，则Q(x，－1)．∵·＝·，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.故选A.]4.设

3、点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且

4、PA

5、＝1，则P点的轨迹方程为(　　)A．y2＝2x　　　　　　B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2D　[如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，PM，则MA⊥PA，且

6、MA

7、＝1，又∵

8、PA

9、＝1，∴

10、PM

11、＝＝，即

12、PM

13、2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.]5．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)A.－＝1B．＋＝1C.－＝1D．＋＝1D　[因为M为AQ

14、垂直平分线上一点，则

15、AM

16、＝

17、MQ

18、，所以

19、MC

20、＋

21、MA

22、＝

23、MC

24、＋

25、MQ

26、＝

27、CQ

28、＝5，故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a＝，c＝1.则b2＝a2－c2＝，所以椭圆的方程为＋＝1.]二、填空题6．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长

29、CD

30、＝3，则顶点A的轨迹方程为__________．(x－10)2＋y2＝36(y≠0)　[设A(x，y)，则D.∴

31、CD

32、＝＝3，化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，∴A不能落在x轴上，即y≠0.]7．一条线段的长等于6，两端点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，P

33、在线段AB上且＝2，则点P的轨迹方程是________．4x2＋y2＝16　[设P(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝36.因为＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，所以即代入a2＋b2＝36，得9x2＋y2＝36，即4x2＋y2＝16.]8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．＋＝1(y≠0)　[设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则

34、AA1

35、＋

36、BB1

37、＝2

38、OO1

39、＝4，由抛物线定义得

40、AA1

41、＋

42、BB1

43、＝

44、FA

45、

46、＋

47、FB

48、，所以

49、FA

50、＋

51、FB

52、＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．]三、解答题9.如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．(1)△PAB的周长为10；(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；(2)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．[解]　(1)根据题意，知

53、PA

54、＋

55、PB

56、＋

57、AB

58、＝10，即

59、PA

60、＋

61、PB

62、＝6＞4＝

63、AB

64、，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝.因此其轨迹方

65、程为＋＝1(y≠0)．(2)设圆P的半径为r，则

66、PA

67、＝r＋1，

68、PB

69、＝r，因此

70、PA

71、－

72、PB

73、＝1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1,2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其轨迹方程为4x2－y2＝1.(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.因此其轨迹方程为y2＝－8x.10．已知动点M到定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交曲线C于不同于N的