高中数学逻辑专题训练.doc

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1、.§1–2　简易逻辑一、命题1.2.1　如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的(　)．(A)否命题必是真命题(B)否命题必是假命题(C)原命题必是假命题(D)逆否命题必是真命题解析　一个命题的逆命题与否命题真假相同，答案为A．1.2.2　命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　)．(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0　(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1>0　(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析　“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，使得x3－x2＋1>0”，答案为C．1.2.3　与

2、命题“若a∉M，则b∉M”等价的命题是(　)．(A)若b∈M，则a∉M(B)若b∉M，则a∈M(C)若b∈M，则a∈M(D)若a∉M，则b∈M解析　逆否命题与原命题互为等价命题，原命题的逆否命题为“若b∈M，则a∈M”，所以，答案为C．1.2.4　设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　)．(A)若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立(B)若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立(C)若f(7)<49成立，则当k≥8时，均

3、有f(k)16得f(4)＝25使得f(4)≥42成立，由已知可得当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，答案为D．1.2.5　命题“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1(D)若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析　命题“若x2<1，则－1

4、、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是　　　　．解析　原命题的逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．当A∩B＝A时，任取x∈A＝A∩B，必有x∈B，则A⊆B，必有A∪B＝B成立，所以，逆否命题和原命题都是真命题．原命题的否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，同上，可知否命题和逆命题也都是真命题．所以，在这四个命题中，真命题的个数是4．..1.2.7　若a，b都是非零实数，证明：

5、a

6、＋

7、b

8、＝

9、a＋b

10、与ab>0等价．解析　若

11、a

12、＋

13、b

14、＝

15、a＋b

16、，则(

17、a

18、＋

19、b

20、)2＝

21、a＋b

22、2，a2＋b2＋2

23、a

24、

25、b

26、＝a2＋b2＋2ab，于是，

27、ab

28、＝ab，

29、可得ab>0；若ab>0，则或于是，

30、a

31、＋

32、b

33、＝

34、a＋b

35、．所以，当a，b都是非零实数时，

36、a

37、＋

38、b

39、＝

40、a＋b

41、与ab>0等价．1.2.8　已知A和B都是非空集合，证明：“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．解析　若A∪B＝A∩B，则任取x∈A，必有x∈A∪B＝A∩B，于是，x∈A∩B，则x∈B，所以，A⊆B，同理可得B⊆A，于是，A＝B；若A＝B，则显然有A∪B＝A∩B，所以，“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．1.2.9　已知a，b，c是实数，则与“a，b，c互不相等”等价的是(　)．(A)a≠b且b≠c(B)(a－b)(b－c)(c－a)≠0(C

42、)(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0(D)a2，b2，c2互不相等解析　由于不相等关系不具有传递性，当a≠b且b≠c，a与c可能相等；由(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0可得a＝b，b＝c，c＝a中至少有一个不成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0等价于“a，b，c不全相等”，而不能等价于“a，b，c互不相等”；a＝－1，b＝0，c＝1，此时a，b，c互不相等，但a2＝c2，所以，“a，b，c互不相等”与“a2，b2，c2互不相等”不是等价的；a≠b等价于a－b≠0，“a，b，c互不相等”等价于a－b≠0，b－c≠0，c－a≠0同时

43、成立，所以，“a，b，c互不相等”与“(a－b)(b－c)(c－a)≠0”等价，答案为B．1.2.10　命题“若ab＝0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为　　．解析　原命题的逆否命题为“若a、b均不为零，则ab≠0”．1.2.11　给出下列四个命题：①若x2＝y2，则x＝y；②若x≠y，则x2≠y2；③若x2≠y2，则x≠y；④若x≠y且x≠－y，则x2≠y2，其中真命题的序号是　　　　　．解析　由x2＝y2可得x＝y或x＝－y，命题①不成立；若x＝－y≠0，此时x≠y，而x2＝y2，于是，命题②不成立；若x2≠y2时有x＝y，则可得x2＝y2，矛盾，于是