计算机图形学复习课件第8章.ppt

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1、1第八章曲线和曲面提出问题由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等。28.1曲线曲面的表示参数法表示参数法表示的优点点动成线通常总是能够选取那些具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式。用对参数求导来代替斜率，避免无穷大斜率3曲线曲面的表示t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的。可对参数方程直接进行仿射和投影变换。参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来。4连续性条件假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：参数连续性

2、0阶参数连续性，记作C0连续性，是指曲线的几何位置连接，即5连续性条件1阶参数连续性，记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数：6连续性条件2阶参数连续性，记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。图8.3曲线段的参数连续性7连续性条件几何连续性0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定义相同，满足：8连续性条件1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比

3、例。98.2三次样条给定n+1个点，可得到通过每个点的分段三次多项式曲线：10三次Hermite样条定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条曲线：11推导12Mh是Hermite矩阵。Gh是Hermite几何矢量。13三次Hermite样条三次Hermite样条曲线的方程为：14三次Hermite样条通常将T•Mk称为Hermite基函数（或称混合函数，调和函数）：158.3Bezier曲线曲面B

4、ezier曲线的定义Bezier曲线的性质Bezier曲线的生成Bezier曲面16Bezier曲线的定义定义Bernstein基函数具有如下形式：注意：当k=0，t=0时，tk=1，k!=1。17Bezier曲线的定义一次Bezier曲线（n=1）18Bezier曲线的定义二次Bezier曲线（n=2）19Bezier曲线的定义三次Bezier曲线（n=3）20Bezier曲线的性质端点21Bezier曲线的性质一阶导数22Bezier曲线的性质23Bezier曲线的性质二阶导数Bezier曲线在起始点和终止点处的

5、二阶导数分别取决于最开始和最后的三个控制点。24Bezier曲线的性质对称性保持控制多边形的顶点位置不变，仅仅把它们的顺序颠倒一下，将下标为k的控制点Pk改为下标为n-k的控制点Pn-k时，曲线保持不变，只是走向相反而已。25Bezier曲线的性质凸包性Bezier曲线各点均落在控制多边形各顶点构成的凸包之中。Bezier曲线的凸包性保证了曲线随控制点平稳前进而不会振荡。26Bezier曲线的性质几何不变性差变减少性控制顶点变化对曲线形状的影响27Bezier曲线的生成Bezier曲线的拼接：如何保证连接处具有G1和

6、G2连续性。在两段三次Bezier曲线间得到G1连续性为实现G1连续，则有：28Bezier曲线的生成在两段三次Bezier曲线间得到G2连续性图8.7两段三次Bezier曲线的连接29Bezier曲面定义BENi,m(u)与BENj,n(v)是Bernstein基函数30Bezier曲面31Bezier曲面双三次Bezier曲面(m=n=3)图8.8双三次Bezier曲面及其控制网格32Bezier曲面33Bezier曲面的性质控制网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点。控制网格最外一圈顶点定义Bezier

7、曲面的四条边界，这四条边界均为Bezier曲线。几何不变性、对称性、凸包性等。34Bezier曲面的拼接0阶连续性只要求在边界上匹配控制点；1阶连续性则要求在边界曲线上的任何一点，两个曲面片跨越边界的切线矢量应该共线，而且两切线矢量的长度之比为常数。35Bezier曲面的拼接图8.9Bezier曲面片的拼接