数学奥林匹克竞赛题解精编.pdf

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1、序中学学科（数、理、化）竞赛题典，1992年问世后，颇受欢迎，很快销售一空．为了适应各方面的需要，我们编成这套最新的竞赛题典，既搜集了近五年来的赛题，又从原来的题典中精选出一部分内容．这样，主要的竞赛（如国际竞赛）均保持完整，篇幅又不过于庞大，可以称为最新最精的题典．信息科学（计算机）竞赛，五年前刚刚起步，现在材料已经很多．这次也编为一册．随着计算机的广泛使用，信息科学竞赛将会越来越引起人们的关注．对于学科竞赛，有各种各样的看法，总的说来，与体育竞赛类似，正面效应远远超过负面影响．所以近年来，各学科的竞赛，不仅没有停滞的趋势，反而蓬勃发展，日益扩大．“天下大事，必作于细。”我

2、们希望，这套新题典的出版，对于中学学科竞赛的发展，对于科学知识的普及，对于国民素质的提高，能够起着一点积极有益的作用．单墫编写说明本书是在原《数学奥林匹克题典》基础上新编的增订、精选本．删除了原书中1950年以前的陈题，精简了重复、次要和过于繁杂的题型，增补了1992年～1997年间国内外重要竞赛的新题．时间跨度约为50年，收题1451个．与原书相比，篇幅减小一半，新题占五分之二，是一本内容更新，更切于实用，尤其是适合中学生阅读的数学竞赛辅导书．在编写体例上，与原书保持一致．每题由题目、题说、解答三部分组成．在题说中说明该题的来源和出处．所给解答，尽可能选择最好的一种，有时还

3、给出其他优秀的“别解”．对某些题解，还适当给以评注，指出其可注意之处．在题目编排上，按数学内容分为五部分：A——整数；B——代数；C——几何；D——三角；E——组合数学．每部分下分若干子类，子类目录在原书基础上有所调整，使其更符合题解实际内容，方便读者查用．参加本书新题编写工作的有单墫、胡炳生、张振环、胡礼祥、吴俊．单墫对题解作了全面审订、修改，有的还另给新解．胡炳生对原书题解进行了精选和校订，整理、编制了全部图稿，并对全书进行分类和总纂．由于数学竞赛题遍及世界各国，题解精微奥妙，囿于作者能力和水平，有的好题可能有遗漏，有的题解也未必精到，敬请广大读者批评指正．编者1999年

4、10月A整数A1特殊的自然数A1－001求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．【题说】1956年～1957年波兰数学奥林匹克一试题1．【解】设所求的四位数为x=aabb则x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）其中0＜a≤9，0≤b≤9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b≤18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，⋯，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数

5、，故所求的四位数是7744＝882．A1－002假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．【题说】1953年匈牙利数学奥林匹克题2．【证】设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．A1－003试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．【题说】1962年上海市赛高三决赛题1．【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）

6、＝（n2＋3n＋1）2－1因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．A1－004已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．【题说】1963年全俄数学奥林匹克十年级题2．算术级数有无穷多项．【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．A1－005求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．【题说】1964年全俄数学奥林匹克十一年级题1

7、．【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n≥10a＋1．因此b＝n2100a2≥20a＋1由此得20a＋1＜100，所以a≤4．经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n2－402≥422－402＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412＝1681．A1－006求所有的素数p，使4p2＋1和6p2＋1也是素数．【题说】1964年～1965年波兰数学奥林匹克二试题1．【解】当p≡±1（mod5）时，5

8、4p2＋1．当p≡±2（mod5）