2、an
3、≤M摆动数列从第二项起
4、,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项3.数列与函数的关系数列与函数的关系从函数观点看,数列实质上是定义域为⑦正整数集N+(或它的有限子集的函数f(n),当自变量n从1开始依次取值时,对应的一系列函数值为f(1),f(2),f(3),…,f(n),….通常用an代替f(n),其图象是⑧一群孤立的点.数列的表示方法数列有三种表示方法,它们分别是⑨列表法、⑩图象法和解析式法.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.5.已知数列{an}的前n项和Sn,则an=1.(教材习题改编)
5、若数列{an}的通项公式是an=n2+3n+2(n∈N*),则56是该数列的第项.答案6解析由n2+3n+2=56,n∈N*,解得n=6.2.(教材习题改编)一个数列的前4项为,-,,-,则它的一个通项公式是.答案an=(-1)n+1·(n∈N*)3.下列说法不正确的是.(只填序号)①数列可以用图象来表示;②数列的通项公式不一定是唯一的;③数列中的项不能相等;④数列可以用一群孤立的点表示.答案③4.数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=.答案解析当n=1时,a1=S1=2;当n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1
6、]=n2-(n-1)2=2n-1,a1=2不符合该式,∴an=5.设数列{an}的通项公式为an=n2+bn,若数列{an}是单调递增数列,则实数b的取值范围是.答案(-3,+∞)解析因为数列{an}是单调递增数列,所以an+1>an,n∈N*恒成立,即(n+1)2+b(n+1)>n2+bn,则b>(-2n-1)max=-3,则实数b的取值范围是(-3,+∞).6.(2018南京师大附中高三模拟)在数列{an}中,若a4=1,a12=5,且任意连续三项的和都是15,则a2018=.答案9解析由任意连续三项的和都是15,得an+an+1+an+2=an+1+
7、an+2+an+3,则an=an+3,则a12=a3=5,a2+a3+a4=15,则a2=9,a2018=a3×672+2=a2=9.考点一由an与Sn的关系求通项公式典例1已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;(2)若Sn=3n+2n+1,求an.考点突破解析(1)a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)=(-1)n+1·[n+(n-1)]=(-1)n+1·(2n-1),因为a1也适合此式,所
8、以an=(-1)n+1·(2n-1)(n∈N*).(2)当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2,由于a1不适合此式,所以an=方法技巧Sn与an的关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的方向转化.(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.易错警示注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.同类练已知数列{an}的前n项
9、和Sn=3+2n,则数列{an}的通项公式为.答案an=解析当n=1时,a1=S1=3+2=5;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-2n-1=2n-1.因为当n=1时,不符合an=2n-1,所以数列{an}的通项公式为an=变式练已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=.答案解析∵Sn=2an+1,∴当n≥2时,Sn-1=2an,∴an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n≥2),∴3an=2an+1(n≥2),又易知a2=,∴an≠0(n≥2),∴=(n≥2).∴an=×(n≥2).当n=1
10、时,a1=1≠×=,∴an=∴Sn=2an+1=2××=.深化练1
