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1、第23卷第5期山东理工大学学报(自然科学版)Vol.23No.52009年9月JournalofShandongUniversityofTechnology(NaturalScienceEdition)Sep.2009文章编号:1672-6197(2009)05-0040-03Stewart定理及其空间移植定理周运明(山东理工大学理学院,山东淄博255049)摘要:论述了Stewart定理,并给出了两个推广定理及其在解竞赛题中的应用,最后将推广定理2移植到了三维空间.关键词:Stewart定理;推广定理;移植定理;竞赛题中图分类号:O124文献标识码:AStewarttheorem
2、anditsapplicationinspacetransplantationZHOUYunming(SchoolofSciene,ShandongUniversityofTechnology,Zibo255049,China)Abstract:TheStewarttheoremisreseachedandtwopromotiontheoremsweregivenandusedtosolvecompetitionquestions.Thepromotiontheorem2wastransplantedtothreedimentionlspace.Keywords:Stewartt
3、heorem;transplantationtheorem;promotiontheorem;competitionquestions斯特瓦尔特(Stewart,17171785年)是18世纪的英国数学家,于近世几何、欧氏几何研究甚多。本图1文中的推广定理2是Stewart定理在二维平面上的[1]推广,是欧氏几何的一个重要定理,它反映了平面几何的一类重要度量关系,数年来在国内、外数学竞1定理及推广赛中有着广泛应用。文[2]用向量方法将推广定理[1]Stewart定理设A、B、C、P是直线上的任2分别在平面、空间进行了推广;有文献利用四面体222的一些性质将Stewart定
4、理推广到空间,文[3]给出意点,则PABC+PBCA+PCAB+BC了推广定理2的一些推论,本文是在给出推广定理CAAB=0(1)222的简洁证明与应用后研究出了与文[2]不同形式证明如图所示PA=PC+CAPA=PC+222的空间移植定理。CA+2PCCA;PB=PC+CBPB=PC+2为证明推广定理2,先给出如下引理:三角形锐CB+2PCCB.角(钝角)所对边的平方等于其他两边的平方和减去于是(加上)这两边中的一边和另一边在这边上射影乘积PA2BC+PB2CA+的二倍.PC2AB+BCCAAB=由余弦定理列式再由直角三角函数关系化简易22(PC
5、BC+CABC+2PCCABC)+证(略)22(PCCA+CBCA+2PCCBCA)+2PCAB+BCCAAB=222(PCBC+PCCA)+CABC+收稿日期:20090316作者简介:周运明(1957),男,副教授.Email:yunmingzhou66@yahoo.com.cn第5期周运明:Stewart定理及其空间移植定理4122CBCA+PCAB+BCCAAB=c;中线长分别为ma,mb,mc高线长分别为ha,hb,222PCBA+CABC+CBCA+hc;内角平分线分别为ta,tb,tc;外
6、角平分线分别为2PCAB+BCCAAB=Ta,Tb,Tc则:CABC(CA+BC)+BCCAAB=1222ma=2(b+c)-a;2CABCBA+BCCAAB=0.2其他情形同理可证.ha=s(s-a)(s-b)(s-c);a推广定理1设A、B、C是共线的三点,P是平2面上任一点,则(1)式成立.证明(略)ta=b+cbcs(s-a)Ta=[2]推广定理2自ABC的顶点A与其对边2bc(s-b)(s-c).BC上任意点P间的距离AP由下式确定:
7、c-b
8、22PC2BP1AP=AB+AC-其中s=(a+b+c).BCBC22PCBP证
9、明见文献[3].BC(2)BCBC2.2在数学竞赛题中应用推广定理2可以将一些简证设A在对边上的射影为H,!APC<较复杂的几何题转化为代数问题解决,思路清晰,步90∀骤简捷.现举数例国内、外数学竞赛题如下:在APC和APB中据引理得:例1在ABC中AB=AC=2,BC边上有222AC=AP+PC-2PCPH#100个不同的点.222AB=PA+PB+2PBPH∃p2i(i=1,2,3,%,100)若mi=APi+BPi#PB+
