导数函数零点整体代换法的应用.pdf

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1、34数学通讯——2O15年第7、8期(上半月)·辅教导学·导数函数零点整体代换法的应用苏凡文(山东省泰安宁阳一中数学组，2714oo)在高三二轮复习教学中，一类与求函数极值一xlnx+(口∈R)．有关的题目不时出现，此类题目的极值点为变量，(I)若函数，(z)在区间[P。，+∞)上为增函在求函数极值时相应的极值函数一般为超越函数数，求的取值范围；或含参函数，不方便直接求解．因为极值点为导数(II)若对任意z∈(1，+oo)，(z)>忌(～函数的零点，此时结合函数极值函数的特点，不妨1)+甜一z恒成立，求正整数是的值．利用整体代换化简极值函数，则解题方向柳暗花

2、解析(I)略．明．笔者整理了此类题目作为一个专题，集中讲(II)因为z∈(1，+。。)，所以一1>0．所解，效果颇佳，现与同仁共享．以龙(z一1)0．，设(z)~3

3、C-ln．72-2，则)=解析(I)略．‘(II)当≤2，∈(一m+。。)时，in(a：+m)i一．≤ln(z+2)，故只需证明：当=2时，_厂(z)>0．因为z∈(1，+()。)，所以m()>0，则()当m一2时，f()===ex一，厂(z)一矿在(1，+oo)上是增函数，又m(3)一l—In3<0，m(4)一2～ln4>0，所以，jzo∈(3，4)，使m(xo)+>0，所以函数厂()在(一2，+。。)单一z0一ln0c0—2===0．调递增．当∈(1，zo)时，()<0，h(1z)<0，故又-厂(一1)<0，f(O)>0，故f(z)一0在h(z)在(1，

4、sc。)上是减函数；当E(Jc。，+oo)时，(二_2，十oo)有唯一实根z。，且z。E(一i，O)．re(x)>0，h()>0，故^(z)在(zo，+。。)上是当E(一2，0)时，f()<0，当zE(0，增函数．所以[()]一h(。)一+oo)时，f()>0，从而当—z。时，，(z)取得又m(o)===0一lnx0—2=0，则1+ln．r。一最小值．0—1，于是得h(z0)一zoE(3，4)，所以愚

5、ln(xo+2)点又不确定，于是根据零点存在定理确定零点的取值范围．在得到极值函数后，若再次求导就会陷一一>。．入求导运算的死循环，这时需要转换思路另辟蹊综上，当m≤2时，f(sc)>0．’径，通过零点整体换元化简极值函数，则问题迎刃例2(2015年泰安模拟21)已知函数厂()而解．·辅教导学·数学通讯——2Ol5年第7、8期(上半月)35二、利用导数函数零点消参>0)．．例3(2014年新课标Ⅱ文21)已知函数当口≤0时，一ax++1>0，故厂(z)一，(z)=。一3。++2，曲线Y：f(x)在点(0~ax2+x+1>0——，则()在(O，+。。)上为增函

6、2)处的切线与z轴交点的横坐标为一2．数，不存在极值．(I)求口；当n>o时，设g()：一ax+x+1，因为(Ⅱ)证明：当k<。1时，曲线y一，(z)与直线g(z)的图象过定点(o，1)，且开口方向向下，所以y：kx一2只有一个交点．解析(I)略．g(z)在(O，+oo)上存在唯一的零点z。，且x∈(U)“曲线y一，()与直线Y=kx一2只有(o，x。)时，g()>0，此时／()>0，厂(z)为增函一个交点”即“g(z)=，()一+2的图象与x数；x∈(0，+∞)时，g()<0，此时／(z)<0，轴只有一个交点”．()为减函数．所以z=z。为函数，(z)的极

7、大g(z)=x。一3x+(1一k)+4，值点，厂(0)一lnxo一寺甜3+zo，0∈(0，+∞)．g(z)=3x。一6x+(1一是)．因为一纰3+。+l=0，即纰：一。+1，所①△一36—12(1一是)=24+12k≤0，即k以，(。)：ln。一下Xo+1+。一lnx。+墅≤一2时，g(z)≥0，所以g(z)在R上为增函数．，因为g(O)一4>0，g(一1)一志一1<·0，所以存在／(。)1十虿1>o，所以，(z。)在(0，+)上xo∈(～l，O)使得g(x。)=0，所以g()的图象与z轴有一个交点．·为增函数，又，(1)=o，所以，当。∈(1，+o。)时②

8、△一36—12(1一志)=24+12k>0，即一2f