等边三角形的性质与判定

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1、等边三角形和等腰三角形的性质知识梳理等腰三角形：（－）等腰三角形的性质1.有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；（二）等腰三角形的判定1.有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。

2、）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等边三角形：定义：三条边都相等的三角形性质：三边相等，三角相等且都为60度，加等腰三角形性质。判定：三条边相等的三角形，三个角都为60度的三角形，有一个角是60度的等腰三角形。等边三角形的判定方法：（1）有　　　　边相等的三角形叫做等边三角形；（2）有　　　　角相等的三角形叫做等边三角形；（3）有　　　　个内角都等于600的三角形叫做等边三角形；（4）有

3、　　　　个内角等于600的　　　三角形叫做等边三角形。典型例题例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。12例2.如图，已知：中，，D是BC上一点，且，求的度数。例3.已知：如图，中，于D。求证：。例4.如图，中，，BD平分。求证：。12例5.如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，求证：（1）△BCE≌△ACD．（2）CF=CH（3）FH//BD线段的垂直平分线与角平分线专

4、题学习【知识总结】1、线段的垂直平分线的性质定理：_______________________________________________________________________________.如右图，几何语言表述为：∵______________________________∴______________________________.2、线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：___________________________________________________________________

5、______.如右图，几何语言表述为：∵______________________________∴______________________________.3、线段中垂线的尺规作图法：124、三角心的外心：三角形三边的中垂线交于一点，它到__________________距离相等，这个点就叫做三角形的外心.5、角分线的性质定理：_________________________________________________________________________________________.如右图，几何语

6、言表述为：∵______________________________∴______________________________.6、角平分线性质定理的逆定理：___________________________________________________________________________________.如右图，几何语言表述为：∵______________________________∴______________________________.7、角平分线的尺规作图法：8、三角心的内心：三角形

7、三边的角平分线交于一点，它到____________距离相等，这个点就叫做三角形的内心.【例题解析】例1：如图，在△ABC中，AC=27，DE为AB的中垂线，△BCE的周长等于50，求BC的长.例2：如图，A、B是两个仓库，直线CD是河，要在河上建码头，使码头到两个仓库的距离相等，问仓库应建在什么地方？(保留作图痕迹即可)12例3：如图，求作点P，使P到C、D的距离相等，同时到角两边的距离也相等.例4：如图，已知∠ACB、∠ADB都是直角，且AC＝AD，P是AB上任意一点．求证：CP＝DP．例5：如图，△ABC的外角平分线∠DB

8、C、∠ECB的平分线相交于点F.求证：点F在∠A的平分线上.例6：如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的中垂线，求证：(1)∠EAD=∠EDA；(2)DF∥AC；(3)∠EAC=∠B.12例7：如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在直线的