2、增,所以cos2B-sinA的取值范围为.2.如图,已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=4,将△ABD沿BD折到△A'BD的位置,使平面A'BD⊥平面CBD.(1)求证:CD⊥A'B;(2)试在线段A'C上确定一点P,使得二面角P-BD-C的大小为45°.证明(1)在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=4+4+8cosC,在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cosC=16+4-16cosC.由上述两式可知,BD=2,cosC=,
3、∴BD⊥CD.又∵面A'BD⊥面CBD,面A'BD∩面CBD=BD,∴CD⊥面A'BD.∵A'B⊂面A'BD,∴A'B⊥CD.(2)解法一:存在.P为A'C上靠近A'的三等分点.取BD的中点O,连接A'O,图略.∵A'B=A'D,∴A'O⊥BD.7又∵平面A'BD⊥平面CBD,∴A'O⊥平面CBD,∴平面A'OC⊥平面BCD,过点P作PQ⊥OC于Q,则PQ⊥平面BCD,过点Q作QH⊥BD于H,连接PH.则QH是PH在平面BDC内的射影,∴PH⊥BD,故∠PHQ为二面角P-BD-C的平面角.∵P为A'C上靠近A'的
4、三等分点,∴PQ=,∴HQ=DC=,∴∠PHD=45°.∴二面角P-BD-C的大小为45°.解法二:由(1)知CD⊥BD,CD⊥平面A'BD.以D为坐标原点,以的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),取BD的中点O,连接A'O,∵A'B=A'D,∴A'O⊥BD.在等腰三角形A'BD中,A'B=2,BD=2,可求得A'O=1,∴A'(,0,1),∴=(-2,0,0),=(-,0,1),=(-,2,-1).设=λ,则=(-λ,2λ,1-λ),
5、设n=(x,y,z)是平面PBD的法向量,则即可取n=.易知:平面CBD的一个法向量为m=(0,0,1).由已知二面角P-BD-C的大小为45°.∴
6、cos
7、=,解得λ=或λ=-1(舍).∴点P在线段A'C靠近A'的三等分点处.73.某校举办“中国诗词大赛”活动,某班派出甲、乙两名选手同时参加比赛.大赛设有15个诗词填空题,其中“唐诗”“宋词”和“毛泽东诗词”各5个.每位选手从三类诗词中各任选1个进行作答,3个全答对选手得3分,答对2个选手得2分,答对1个选手得1分,一个都没答对选手得0分.已知“唐诗”
8、“宋词”和“毛泽东诗词”中甲能答对的题目个数依次为5,4,3,乙能答对的题目个数依此为4,5,4,假设每人各题答对与否互不影响,甲乙两人答对与否也互不影响.求:(1)甲、乙两人同时得到3分的概率;(2)甲、乙两人得分之和ξ的分布列和数学期望.解(1)设事件Ai为甲得分为i分(i=1,2,3),事件Bi为乙得分为i分(i=1,2,3),则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=;又甲、乙两人同时得3分为事件A3·B3,则P(A3·B3)=.(2)甲、乙两人得分之和ξ的可能取
9、值为2,3,4,5,6,则P(ξ=2)=P(A1·B1)=,P(ξ=3)=P(A1·B2)+P(A2·B1)=,7P(ξ=4)=P(A1·B3)+P(A2·B2)+P(A3·B1)=,P(ξ=5)=P(A2·B3)+P(A3·B2)=,P(ξ=6)=P(A3·B3)=.所以ξ的分布列为ξ23456P所以ξ的数学期望为E(ξ)==5.〚导学号16804257〛4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,离心率为,P为C上动点,且满足=λ(λ>0),
10、
11、=
12、
13、,△QF1F2面积的最大值为4.(1)
14、求Q点轨迹E的方程和椭圆C的方程;(2)直线y=kx+m(m>0)与椭圆C相切且与曲线E交于M,N两点,求的取值范围.解(1)由椭圆定义,得
15、F2Q
16、=
17、F2P
18、+
19、PQ
20、=
21、F2P
22、+
23、PF1
24、=2a,所以点Q的轨迹是以F2为圆心,2a为半径的圆.当QF2⊥F1F2时,△QF1F2面积最大,所以·2c·2a=4,得ac=2.又,可得a=2,c=1,所以Q点轨迹E的方程为
