浅谈数形结合法的应用

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1、浅谈数形结合法的应用陕西汉中四零五学校侯有岐723312数形结合法就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起來，充分利用这种“结合'‘寻找解题途径，可使问题顺利地得到解决。一.数形结合的两个侧面(一)、以数辅形例1、(2006«试题调研＞＞高考模拟)函数/(%)与函数g(x)的图彖分别如图(1)、⑵所示:y八/=/(*)-1则函数y=/(x)g(x)的图象可能是()BCD(5、M1,_、N-4,——L4丿14丿给出下列曲线方程:(1)

2、4兀+2y=1⑵宀八3(3)才+宀1解析:由图(1)、⑵可My=/(x)是偶函数,y=g(Q是奇函数,甘*(》⑴为奇函数,排除(B).然后以数辅形，再作定量分析，当XT(T时J(x)Tl,g(X)T+0O,y=(x)-＞+00,排除(C)(D)・故选(A).(一)、以形助数例2.(1999年全国高考题)已知两点在曲线上存在点P,满足=的所有曲线方程是()A、⑴⑶B、⑵(4)C、(l)⑵(3)从⑵⑶(4)分析：由MP=NPf知P点在MN的中垂线/上，不难求出1的方程为2x+y+3=0,由图形不难看出I

3、与⑴⑵⑷是否存在交点，而/与（3）则需经计算确定.解：先求出线段MN的中垂线方程I:2x+y+3=0,比较I与直线（1）的系21-1数彳弓工吕知I与（1）平行.G乙0画出I、圆（2）和双曲线（4）的图形，不难看出/与（2）、（4）都相交（如右图），而从图形很难判定椭圆（3）与/是否有公共点，y2兀+y+3=0由

4、•.选D二、数形结合在数学中的应用（一）、方程或不等式的问题常可转化为，研究两个函数图象交点或位置关系的问题例3、（2003年全国高考题）使10艮（-兀）<兀+1成立的册取值范围是.解:由-x〉0得定义域x<0.在同一坐标系内作y=log2（-兀）与y=x+1的图象由图象知,x的范围是（-1,0）.故填（-1,0）.（二）、用解析几何中的重要公式（如：斜率、两点间距离公式、定比分点公式等）与定义来谋求数式背景及相关性质例4、（2006«试题调研>>高考模拟）/（x）（O

5、2<1,贝!J()fMB、兀J二/（兀2）兀Ix2D、以上都不正确故选（A）.（三）、利用函数的图象及性质谋求数形结合的背景例5、（2005年湖北高考题）在y=2y=log2x,y=x2,y=cos2x这四个函数中,当0

6、坐标的值。若耍込1］〉/（州）+/（兀2）恒成立，则曲线的弦P/2应恒在对应弧的下方。观察图象,只有y=log2x的弦恒在对应弧的下方。因此,只有y=log2x在0<^<%.<1时，恒有/（］>小）+小）恒成立，故选⑻。〜I2丿2例6.（2005年湖北高考题）若04)2x>3sinx(B)2x<3sinx(C)2x=3sinx(D)与兀的取值有关rr解析:观察函数y=2x,y=3sinx在(0,—)内的图象可知，2x与3sinx的人小券与x的取蹄关,沁（D）。注

7、:本题涉及的知识点有比较人小，可以利用导数的方法,即导函数大于0,原函数为增函数，导函数小于0,原函数为减函数，也可以利用特殊值法处理，但利用数形结合法求解，直观明了，问题可较快得到解决。（四）、利用数形结合定量分析，解决立几背景下的解几的轨迹问题这类问题一般采用数形结合作定量分析，然后根据轨迹的定义解答。步骤为：确定平面，转化条件（将空间限制条件转化为平面内的限制条件），确定轨迹。例7、（2006«试题调研＞＞高考模拟）竖立在地而上的两根旗杆的高分别为10米和15米,相距20米，则地面上到两根旗杆顶点的仰

8、角相等的点p的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线解析：要求动点P的轨迹，由于P点在地面上，因而只要将动点P所受的空间限制条件转化为动点P在地面上的限制条件，再由和关知识即可求出。如图，由题意得聲BDPB所以PAPB

9、即点p到两个定点的距离之比为常数k,易知点p的轨迹是圆，故选（A）.注：本题是近两年出现的创新题，其“新”在将解析儿何与立体儿何有机地结合在一起考查，这种问题一般解法是把空间问题化归