2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程教学案理北师大版

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1、第三节 圆的方程[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心(a,b),半径r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)圆心,半径2.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.(2)若M(

2、x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.1.圆心为坐标原点,半径为r的圆的方程为x2+y2=r2.2.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.[基础自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(  )(2)方程x2+y2=a2表示半径为a的圆.(  )(3)方程x2+y2+

3、4mx-2y+5m=0表示圆.(  )(4)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.(  )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(  )A.(x-1)2+(y-1)2=1   B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2D [由题意得圆的半径为,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.]3.方程x2+y2+4mx-

4、2y+5m=0表示圆的充要条件是(  )A.<m<1B.m<或m>1C.m<D.m>1B [由16m2-20m+4>0得m<或m>1.故选B.]4.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是(  )A.(-1,1)B.(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.a=±1A [由题意可得(1-a)2+(1+a)2<4,即-1<a<1.故选A.]5.(教材改编)圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方程为________.(x-2)2+y2=1

5、0 [设圆心坐标为C(a,0),∵点A(-1,1)和B(1,3)在圆C上,∴

6、CA

7、=

8、CB

9、,即=,解得a=2,所以圆心为C(2,0),半径

10、CA

11、==,∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.]圆的方程【例1】 (1)圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),则圆E的标准方程为(  )A.2+y2=   B.2+y2=C.2+y2=D.2+y2=(2)过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是(  )A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(

12、y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4(1)C (2)C [(1)设圆E的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意得解得∴x2+y2-x-1=0,即2+y2=.故选C.(2)∵圆心在直线x+y-2=0上,∴设圆心坐标为(a,2-a).∴圆的半径r==,解得a=1,r=2,∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选C.][规律方法] 求圆的方程的两种方法(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:①若已知

13、条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.(1)(2018·合肥二模)已知圆C:(x-6)2+(y-8)2=4,O为坐标原点,则以OC为直径的圆的方程为(  )A.(x-3)2+(y+4)2=100B.(x+3)2+(y-4)2=100C.(x-3)2+(y-4)2=25D.(x+3)2+(y-4)2=25(2

14、)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为________.(1)C (2)(x-2)2+(y-1)2=4 [(1)由题意可知圆心C为(6,8),则以OC为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.故选C.(2)设圆C的圆心为(a,b)(b>0),由题意得a=2b>0,且a2=()2+b2,解得a=2,b=1.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.]与圆有关的最值

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