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《利用导数探究f(x)是否穿过x轴单调的策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、利用导数探究f(x)是否穿过X轴单调的策略在高中数学中，有一类函数问题需耍利用导数方法探究函数f(X)在区间D上是否穿过x轴单调递增或单调递减•对此类问题，许多学生找不到突破口，甚至束手无策.以下结合实例探讨判断函数f(x)在区间D上是否穿过x轴单调递增或单调递减的策略.1判断函数f(x)的值的符号例1已知aeR,关于x的方程xx2+x+2=a最多有()个实数解.A.IB.2C.3D.4解析原题口J转化为函数f(x)=xx2+x+2与y=a的交点问题•对函数f(x)=xx2+x+2求导后得f'(x)=2~x2(x2+x+2)2,由此
2、可得，f(x)在(_o°,-2］,［2,+8)上单调递减，f(x)在［-2,2］上单调递增.下面我们要关心的问题是，f(x)在(-oo,-2］,［2,+8)上单调递减是穿过x轴单调递减吗？图1因为x取一切实数，x2+x+2〉0恒成立，所以xU(-8,_2］时，f(x)〈0；xG［2,+°°)时,f(x)>0,故f(x)在(-°°,-2］,［2,+°°)上都不是穿过x轴的单调递减，其模拟图象如图1,于是直线y=a与函数y二f(x)最多有2个不同的交点，故选B.评注此题用极限思想也可以判断函数f(x)在单调区间(―,-2］,［2,+8)
3、上的图象的走向.2判断函数f(x)的值的符号与极限思想并用例2已知关于x的方程lnxx=a有IL只有一个实数根，求实数a的取值范围.解析原题可转化为函数f(x)二lnxx与y=a的交点问题.因为f'(x)=l-lnxx2,注意到定义域是(0,+8),所以由此可得，f(x)在(0,e］上单调递增，f(x)在［e,+°°)上单调递减.下面我们耍关心的问题是，f(x)在(0,e］上是否是穿过x轴的单增？f(x)在［e,+8)上是否是穿过x轴的单减？因为f(e)=le>0,f(1)=0,且x二0时，方程lnxx=0无实根，即函数f(x)=l
4、nxx无意义(不存在)，所以f(x)在(0,e］上是穿过x轴的单增，且x二0(y轴)是函数f(x)的图象的一条渐近线.图2因为f(e)=le>0,在［e,+°°)上，f(x)>0,所以f(x)在［e,+°°)上是没有穿过X轴的单减，且y二0(x轴)是函数f(x)在区间[e,+00)上的图象的一条渐近线，如图2,于是由函数f(x)=lnxx的图象与直线y二a有且只有一个交点得aWO.故实数a的取值范围是aWO.评注上述例1、例2是两道典型的具有代表性的易错题，错因是判断函数f(x)的图象的变化趋势不准确.3极限思想例3已知当xE[0,
5、+°°)吋，关于x的不等式ax2-x+ln(x+1)W0恒成立，求实数a的取值范围.解析设f(x)=ax2-x+ln(x+1),f‘(x)二x[2ax+(2a-l)]x+l・若3二0,则f‘(x)二-xx+l〈O.f(x)在[0,+°°)上单调递减，乂f(0)=0,如图3,所以a=0符合题意.图3图4若a>0,则当l-2a2a<0a>12f(x)在[0,+^)上单调递增，乂f(0)二0,如图4,所以a>12不符合题意.当l-2a2a±000,l-2a2a_h单调递减；在l~2a2a,+°°上单调递增，乂f(0)=0,这时，我们要关心
6、的问题是，f(x)在l-2a2a,上是穿过x轴递增吗？因为X-+8时，f(x)-+8,所以0若a<0,则「(x)二x[2ax+(2a.-l)]x+l<0.所以f(x)在[0,+°°)上单调递减，如图3,又f(0)二0,故a〈0符合题意.综上，实数a的取值范围是&W0.评注当l-2a2a^000,从而f(x)在[l~2a2a,+°°)上是穿过x轴单调递增.例4证明：当xe[1,+00)吋，12x+12(x+1)>ln(1+lx)・图5证明令f(x)二12x+12(x+1)-In(1+lx)(x$l),因为ff(x)=-12x2(x+1
7、)2<0,乂x—吋，f(x)—0,所以函数f(x)在[1,+°°)上单调递减，且f(x)的值无限趋近于0,故在区间[1,+8)上，f(X)的图象恒在X轴上方，即在[1,+°°)上，f(X)是没有穿过X轴的单调递减，如图5,故f(x)>0,从而不等式12x+12(x+1)>ln(1+lx)(x$l)成立.4零点思想例5已知关于x的不等式a-12ex+xex-2a<0在区间(0,+°°)上恒成立，求实数a的取值范围.解析a-12ex+xex~2a<0a-12e2x-2aex+x<0.令f(x)二(a~12)e2x-2aex+x,f7(x)=(2a~l)e2x-2aex+l二(exT)[(2aT)ex-1].若2a-lW0dW12.此时，在区间(0,+^)上恒有f7(x)<0,从而f(x)在区间(0,+°
