2019春九年级数学下册第二章二次函数2.4二次函数的应用第1课时图形面积的最大值教案1新版北师大版

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1、2.4二次函数的应用第1课时图形面积的最大值1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点)2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　一、情境导入如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为ym2，那么y＝x(20－2x)．试问：x为何值时，才能使y的值最大？二、合作探

2、究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为(　　)A．3　　　B．－1　　　C．4　　　D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】利用二次函数求矩形

3、面积的最大值如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．解析：(1)根据AB为xm，则BC为(24－4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；(3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可．

4、解：(1)∵AB＝x，∴BC＝24－4x，∴S＝AB·BC＝x(24－4x)＝－4x2＋24x(0＜x＜6)；(2)S＝－4x2＋24x＝－4(x－3)2＋36，∵0＜x＜6，∴当x＝3时，S有最大值为36；(3)∵∴4≤x＜6.所以，当x＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米．方法总结：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】利用割补法求图形的最大面积在矩形ABCD的各边AB，BC，CD，DA上分别选取点E，F，G，H，使得AE

5、＝AH＝CF＝CG，如果AB＝60，BC＝40，四边形EFGH的最大面积是(　　)A．1350B．1300C．1250D．1200解析：设AE＝AH＝CF＝CG＝x，四边形EFGH的面积是S.由题意得BE＝DG＝60－x，BF＝DH＝40－x，则S△AHE＝S△CGF＝x2，S△DGH＝S△BEF＝(60－x)(40－x)，所以四边形EFGH的面积为S＝60×40－x2－(60－x)(40－x)＝－2x2＋100x＝－2(x－25)2＋1250(0＜x≤40)．当x＝25时，S最大值＝1250.故选C.方法总结：考查利用配方法求二次函数

6、的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH的面积最大值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型三】动点问题中的最值问题如图，在矩形ABCD中，AB＝m(m是大于0的常数)，BC＝8，E为线段BC上的动点(不与B、C重合)．连接DE，作EF⊥DE，垂足为E，EF与线段BA交于点F，设CE＝x，BF＝y.(1)求y关于x的函数关系式；(2)若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？(3)若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？解析：(1)利用互余关系找角相等

7、，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF＝90°，只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．解：(1)∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90°－∠CED＝∠CDE.又∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴＝，即＝，解得y＝；(2)由(1)得y＝，将m＝8代入，得y＝－x2＋x＝－(x2－8x)＝－(x－4)2＋2，所以当x＝4时，y取得最大值为2；(3)∵∠DEF＝90°，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，

8、∴BE＝CD＝m，此时m＝8－x.解方程＝，得x＝6，或x＝2.当x＝2时，m＝6；当x＝6时，m＝2.方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键．变式