2020高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 课下层级训练40 直线、平面垂直的判定与性质（含解析）文 新人教A版

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1、课下层级训练(四十)　直线、平面垂直的判定与性质[A级　基础强化训练]1．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　)A．α⊥γ，β⊥γ　　　　　　B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥βD　[由a∥α，知α内必有直线l与a平行，而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.]2．(2018·陕西西安期末)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥平面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是(　　)A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE⊥B1C1D．A1C1∥平面

2、AB1EC　[因为△ABC是等边三角形，E是BC中点，所以AE⊥BC，因为AA1⊥底面A1B1C1，平面ABC∥平面A1B1C1，所以AA1⊥平面ABC，因为AA1∥BB1，所以BB1⊥平面ABC，因为AE⊂平面ABC，所以BB1⊥AE，又因为BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BB1∩BC＝B，所以AE⊥平面BCC1B1，因为B1C1⊂平面BCC1B1，所以AE⊥B1C1.]3．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥ACC　[如图，∵A

3、1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．]4．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在(　　)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部A　[因为AB⊥AC，BD

4、⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．]5．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝，AB＝4，若在棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是(　　)A．(0,1]B．(0,2]C．(1，]D．[1,4)B　[连接DP，由D1P⊥PC，DD1⊥PC，且D1P，DD1是平面DD1P内两条相交直线，得PC⊥平面DD1P，PC⊥DP，即点P在以CD为直径的圆上，又点P在AB上，则AB与圆有公共点，即0

5、°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为__________.2　[作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于2.]7．(2019·河南洛阳月考)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为正确的条件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴

6、BD⊥PC．∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．]8．三棱锥SABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是a.其中正确的是__________.①②③④　[由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；再根据SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SA

7、B，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离，为a，④正确．]9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．证明　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．10．如图，在四

8、棱锥PABCD中，PC⊥